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1、淮北师范大学信息学院 2013 届学士学位论文 利用导数解题的综合分析和探讨研究系 别: 数 学 系 专 业: 数学与应用数学 学 号: 200918084001 姓 名: 柴 先 红 指 导 教 师: 王 慧 指导教师职称: 讲 师 2012年 5 月 10 日利用导数解题的综合分析和探讨研究柴先红（淮北师范大学信息学院，淮北，23500）摘 要导数时近代数学的基础，时数学分析课程中重要的基础概念之一；是联系高中数学的纽带。是判断函数的单调性、极值、最值、凸性、曲线的切线以及一些优化问题的工具 ，同时对研究不等式起着重要的作用；并且在物理学、经济学等邻域广泛应用。是开展科学研究不可或缺的工具
2、。关键词：导数, 导数的切线, 单调性, 极值, 最值, 凸性 Derivative as the basis of modern mathematics, the mathematical analysis is one of the important basic concepts in the course; High school of mathematics is. Is judging function monotonicity, extreme value, the value, convex, the curve is tangent to the tools, and som
3、e of the optimization problem to study inequality plays an important role at the same time; And in physics, economics, etc. Neighborhood is widely used. Is indispensable to carry out scientific research tool.Keywords: derivative, tangent derivative, monotonicity, extreme value, the most value , conv
4、exity目 录引言1一、 导数的概念 2二、导数的性质2三、导数的应用3 1. 求曲线的切线方程 3 2. 导数在探究函数性质中的应用 3 2. 1利用导数判断函数的单调性 4 2. 2利用导数求函数的最值与极值 6 2. 3利用导数判断函数的凹凸性即拐点10 2. 4利用导数描绘函数图形11 2. 5利用导数求参数问题12 3. 导数在不等式中的应用13 4. 导数在数列中的应用13 5. 导数在实际问题中的应用14总结 15参考文献 15引言 导数是函数与解析几何的交汇点，有着重要的工具作用. 是我们学习的必需工具之一，用它可以解决许多数学问题. 现已是高考重点考察的基础知识，主要以应用
5、题的形式出现，例如利用导数处理函数的最值、极值和单调性问题及曲线问题等，除此之外，导数还有其他用途，比如利用导数研究函数的图像，利用导数证明不等式等问题.一、 导数的概念 定义 设函数在点的某邻域内有定义，若极限 （1）存在，则称函数在点出可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作. 令则（1）式可改写为 . 定义 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 存在，则称该极限值为在点的右导数，记作. 类似地，左导数为 注：右导数和左导数统称为单侧导数.若函数在区间I上没一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数）则称为I上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数（或单侧导数）与之对应.称为在I上的
6、导函数，简称为导数.记作，或，即 .导数的几何意义函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率。若表示这条切线与轴正向的夹角，则=。从而0意味着切线与轴正向的夹角为锐角；0），.（1） 若曲线与曲线在他们的交点处具有公共切线，求的值；（2） 当时，求函数的单调区间. 解：（1），由题知， ，故 ,得 ,由（1）知，令，即,又 ,所以 ，,令，得0时，的情况如下：+0-0+所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为.例3 已知函数. 求的单调区间； 若对任意的，都有，求的取值范围.解： , , ,令 .），当时，则递增； 当 时，则递减； 当时，则递增.故的单调递增区间为，单调递减区间为.），当时，则递
7、减； 当时，则递增； 当时，则递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，因为，所以不会有,当时，由（1）知在上的最大值是.故 等价于；得 . 例4 已知函数，当时，讨论的单调性. 解：令 ,）,当时，故在上递增;当时，故在上递减. )由, ，故在上递减； ，则时，则递减；，则递增；，则递减. ，时，则则递减；，则递增.综上，当时，在上递减，在上递增； 当时，在上递增，在和上递减. 2.2 利用导数求函数的最值与极值求可导函数的极值的一般步骤和方法是： 求导数； 求方程的根； 检验在方程的根的左右符号.若在根左侧附近为正，右侧附近为负，那么，函数在这个根处取得极大值；若在根左侧附近为负，
8、右侧附近为正，那么，函数在这个根处取得极小值.对于连续，在内可导的函数的最值求解，可先求出函数在上的极大（小）值，并与比较，即可得出最大（小）值.例5 求函数的最值.解：, 令 当1时，在上单调递增； 当0，在上单调递减；所以，为的最小值点，即 例6 设 若在上存在单调递增区间，求的取值范围；当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解： 由当时，的最大值为令 故 当时，在上存在单调递增区间. 令.故 在上单调递减，在上单调递增.当时，由所以 在上的最大值为.又 ，即故在上的最小值为,，从而在上的最大值为.例7 已知函数满足 求的解析式及单调区间； 若求的最大值.解: 由，所以 ，又 ，故
9、.所以 ，又令 ,当时，当时你，从而，在上单调递增，在上单调递减. ， (1) 若则对任意常数，当时，且时，可得 ，因此（1）式不成立. 若，式恒成立时，此时。 若，设，则当 时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减.故有最小值所以等价于 因此 设则所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值.从而，即当时，式成立，故综上，的最大值为.（2） 利用导数求函数极值 例8 求函数的单调区间和极值. 解：，令.当1时，0，故递减；当0，故递增；故在处有极小值，即. 例9 设，其中，曲线在点处的切线垂直于轴.（1） 求的值；（2） 求函数的极值.解：（1），由题意知， ,(2) 由（1）知，（0）, 令 （舍）,当01时，1时，0，故在上为增函数；从而在处取得极小值.2.3 利用导数判断函数的凹凸性即拐点 在研究函数图形的变化状况时，知道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律.如图4所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状.因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的.从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义3 设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有 则称为上的凸函数.反之，如果总有 则称为上
