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1、【新教材】7.3.1 复数的三角表示式教学设计（人教 A 版）复数的三角形式是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三 角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.课程目标：1. 掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化;2. 培养学生的转化，推理及运算能力;3. 通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美. 数学学科素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化 难点：复数三角表达式的
2、理解.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练. 教学工具：多媒体.一、 情景导入提问：1、如图，角 的终边上一点 P(x，y)，设 P 到原点 O 的距离|OP |r，那么怎样用角 和 r 表示 x，y?2、我们知道，复数可以用 abi(a，bR)的形式来表示，复数 abi 与复平面内的点 Z(a，b)一一对应， 与平面向量OZ(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量OZ的模 r 和以 x 轴的非负半轴为始边，以向量OZ所在射线(射线 OZ )为终边的角 来表示复数 z 吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读
3、课本 83-85 页，思考并完成以下问题1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？2、复数的三角形式是怎样定义的? 又有什么特点？3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1 .复数的辐角以 x 轴的正半轴为始边、向量 OZ 所在的射线为终边的角，叫做复数 z=a+bi 的辐角。适合于 02 的辐角 的值，叫辐角的主值。记作：argz,即 0arg z2.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数 zabi 都可以表示成 r(cos+isin)的形式其中，r 是复数的模； 是复数 zabi 的辐角
4、r(cos+isin)叫做复数 zabi 的三角表示式，简称三角形式为了与三角形式区分开来 a+bi 叫做复数的代数表示式，简称代数形式注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等四、典例分析、举一反三题型一 复数的三角形式例 1 下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式2 isin ) isin ). (3) z cos ( )isin ( ) .1 2 3 1 11 ( ，cos ，1 isin )1 5 2 isin )2(cos(2 )isin (2 )2(cos isi
5、n )3 3 2 2 3 (1) z cos 60isin 30 ；1 (2) z 2(cos isin )；5 5(3) z sin icos .32 9 9 【答案】(1) z (cos (2) z 2(cos2 4 4 5 5 2 2【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式z cos 60isin 30 2 2i，模 r1 1 2 2 ()2 )22 2 2 2与 z 对应的点在第一象限，所以取 .42 即 z cos 60isin 30 (cos2 4 4(2)由“加号连”知，不是三角形式复平面上的点 Z (2cos2称，可用诱导公式“2 ”变换到第四象限，2sin )在第四象限，不
6、需要改变三角函数名 5 5所以 z 2(cos 9 9 5 5 5 5 5 5(3)由“余弦前”知，不是三角形式复平面上的点 Z (sin ，cos )在第二象限(假定 为锐角)，需要改变三 角函数名称，可用诱导公式“ ”将 变换到第二象限2所以 z sin icos cos ( )isin ( ) .2 2解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连(2)变形步骤：首先确定复数 z 对应点所在象限(此处可假定 为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名 称，最后确定辐角此步骤可简称为“定点定名定角”.跟踪训练一1下列复数是不是三角
7、形式？若不是，把它们表示成三角形式(1)z 2(cos111 11isin ) ； 12 121 2 2(2) z (cos isin )；2 3 3(3) z 2(cos isin )31 4 4【答案】(1)是三角形式 (2) z (cos isin ) (3) z 2cos()isin ()2 3 31 2 模 r ，cos 2 1 3 2 2 2 2 【解析】(1)z 2(cos11 11isin )符合三角形式的结构特征，是三角形式 12 12(2)由“加号连”知，不是三角形式1 2 2 1 3z (cos isin ) i，2 3 3 4 41 1 4.复数对应的点在第三象限，所以
8、取 ，2 2 31 2 2 1 4 4即 z (cos isin ) (cos isin )2 3 3 2 3 3(3) 由“模非负”知，不是三角形式复平面上的点 Z (2cos ，2sin )在第三象限(假定 为锐角)，余弦“cos ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“”将 变换到第三象限所以 z 2(cos isin )2cos()isin ( )题型二 复数的代数形式表示成三角形式例 2 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）1 3+ i2 2； （2）1 -i .【答案】（1）作图见解析;1 3 p p + i =cos +i sin2 2 3 3（
9、2）作图见解析; 7p 7p1 -i = 2 cos +i sin 4 41 3【解析】（1）复数 + i2 2对应的向量如图所示，1 3 则 r = + =1,cos q1= .21 3 因为与 + i2 21 3 p对应的点在第一象限，所以 arg + i = .2 2 3于是1 3 p p + i =cos +i sin .2 2 3 3 ， 所以取 .（2）复数1 -i对应的向量如图所示，则 r = 12 +( -1)2 =2,cosq=1 2= .2 2因为与1 -i对应的点在第四象限，所以arg(1 -i ) =7p4.于是1 -i = 7p 7p 2 cos +i sin 4 4
10、.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角q 不一定取主值.例如 p p 2 cos - +i sin -4 4 也是 1 -i的三角形式.解题技巧： (复数的代数形式化三角形式的步骤)(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；(4)写出复数的三角形式跟踪训练二1把下列复数表示成三角形式：3 3(1)1；(2)2i；(3) 3i; (4)2(sin icos )4 43 3【答案】(1) 1cos 0isin 0. (2)2i2(cos isin )2 2 3 3 3 3(3) 3i2cos( )isin( ) (4)2(sin icos )2(cos
11、 isin )6 6 4 4 4 4【解析】(1)r1，对应的点在 x 轴的正半轴上，所以 arg(1)0.所以 1cos 0isin 0.3 3 3(2) r2，对应的点在 y 轴的负半轴上，所以 arg(2i) .所以2i2(cos isin )2 2 2(3) r2，对应的点在第四象限，且 cos 所以 3i2cos( )isin( )6 63 2 62 4 4 4 4 4 6 cos 3 3(4)2(sin icos ) 2 2i，r2，4 4对应的点在第二象限，且 cos 2 3 3 3 3 3 ，所以取 .所以2(sin icos )2(cos isin )题型三 把复数表示成代数形式例 3 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）cos p+i sin p；（2） 6 cos11p 11p+i sin6 6.【答案】（1）复数cosp+sinp的模 r =1 ，一个辐角q=p，作图见解析,-1（2）复数 11p 11p+i sin6 611p的模 r =6 ，一个辐角 q= ，作图见解析, 3 3 -3i6【解析】（1）复数cosp+
