不等式的证明

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1、不等式的证明不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活泼，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这局部知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。注意的变式应用。常用 (其中)来解决有关根式不等式的问题。1、比较法比较法是证明不等式最根本的方法，有做差比较和作商比较两种根本途径。1 a,b,c均为正数，求证： 证明：a,b均为正数， 同理，三式相加，可得2、综合法综合法是依据题设条件与根本不等式的性质等，运用不等式的变换，从条件推出所要证明的结论。2 a、b、，求证：证：3 设、是互不相等的正数，求证：证： 同理：

2、 4 知a,b,c，求证: 证明： 即，两边开平方得同理可得三式相加，得5且，证：。证：6策略:由于证明：。3、分析法分析法的思路是“执果索因：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、为正数，求证：证：要证：只需证：即： 成立 原不等式成立8且，求证。证：即： 即4、换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以到达化难为易的目的。9，求证：。证明：令 左 10：，求证：证：由设， 11知abc,求证：证明：ab0, bc0, ac0 可设ab=x, bc=y (x, y0) 那么ac= x + y, 原不等式转化为证明即证，

3、即证 原不等式成立当仅x=y当“=成立12知1xy2，求证：xxyy3证明：1xy2，可设x = rcos，y = rsin，其中1r2，0xxyy= rrsin= r(1sin)，1sin，rr(1sin)r，而r，r3 xxyy313x2xyy2，求证：| xy |证明：x2xyy= (xy)y，可设xy = rcos，y = rsin，其中0r，0| xy | =| xy2y | = | rcos2rsin| = r|sin(ractan)|14解不等式解：因为=6，故可令 = sin， cos，0，那么原不等式化为 sin cos 所以 sin + cos由0，知+ cos0，将上式两

4、边平方并整理，得48 cos2+4 cos230解得0cos所以x6cos21，且x1，故原不等式的解集是x|-1x . 15：1x证明：1x0，1x1，故可设x = cos，其中0那么x =cos= sincos=sin()，1sin()，即1x增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如abc)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简16a，bR，且ab = 1，求证：(a2)(b2)证明：a，bR，且ab = 1，设a =t，b=t， (tR)那么(a2)(b2)= (t2)(t2)=

5、 (t)(t)= 2t(a2)(b2)利用“1的代换型17策略：做“1的代换。证明： .5、反证法反证法的思路是“假设矛盾肯定，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18假设p0，q0，pq= 2，求证：pq2证明：反证法假设pq2，那么(pq)8，即pq3pq (pq)8，pq= 2，pq (pq)2故pq (pq)2 = pq= (pq)( ppqq)，又p0，q0 pq0，pqppqq，即(pq) 0，矛盾故假设pq2不成立，pq219、0，1，求证：，不能均大于。证明：假设，均大于 ，均为正 同理 不正确 假设不成立 20a,b,c0，1，求

6、证：1ab, 1bc, 1ca 不能同时大于。证明：假设三式同时大于0a1 1a0 21 、，求证：、均为正数。证明：反证法：假设、不均为正数 又 、两负一正不妨设， 又 同乘以 即，与矛盾 假设不成立 、均为正数6、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大或缩小3用函数单调性放缩4用不等式放缩22a、b、c、d都是正数，求证：12证明：，将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1223 ，求证：。证明： 判别式法24A、B、C为的内角，、为任意实数，求证：。证明：构造函数，判别式法令 为开口向上的抛物线 无论、为何值， 构造函数法构造函数法证明不等式24 设0a、b、c2，求

7、证：4abcabc2ab2bc2ca证明：视a为自变量，构造一次函数= 4abcabc2ab2bc2ca = (bc2b2c4)a(bc2bc)，由0a2，知表示一条线段又= bc2bc = (bc)0，= bc4b4c8 = (b2)(c2)0，可见上述线段在横轴及其上方，0，即4abcabc2ab2bc2ca构造向量法证明不等式 根据条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系|，就能防止复杂的凑配技巧，使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握25 设a、bR，且ab =1，求证：(a2)(b2)证明：构造向量= (a2，b2)

8、，= (1，1)设和的夹角为，其中0| =，| =，= |cos=cos；yxxy = 02ABDCO另一方面，= (a2)1(b2)1 = ab4 = 5，而0|cos|1，所以5，从而(a2)(b2) 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，那么可根据式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 26设a0，b0，ab = 1，求证：2证明：所证不等式变形为：2这可认为是点A()到直线 xy = 0的距离但因()()= 4，故点A在圆xy= 4 (x0，y0)上如下列图，ADBC，半径AOAD，即有：2，所以2