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1、 圆锥曲线的极坐标方程极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 其中p是定点F到定直线的距离，p0 当0e1时，方程表示椭圆； 当e1时，方程表示双曲线，若0，方程只表示双曲线右支，若允许0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 则0e1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时
2、时，方程表示开口向左的抛物线当e1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若当 0e1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当 e1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）当 0e1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编 （1） 二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解法一：解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为，因此只需令，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二
3、利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，1、椭圆中，.2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若M、N在双曲线同一支上，；若M、N在双曲线不同支上，.3、抛物线中，例1过双曲线的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与A、B两点，求解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得所以又由 得注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v 加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。点睛由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径
4、均为正值, 所以弦长都是 ;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值, 所以弦长也是 ;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值, 所以弦长是 - 或 为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用 变式练习：等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于A,B两点，求求解：附录直角坐标系中的焦半径公式 设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若、分别是椭圆的左、右焦点，则，；2、若、分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，；当点P在双曲线左支上时，；3、若F是抛物线的焦点，.利用弦长求面积点极径一个为正值一个为负值,长是 或 高考题（
5、08年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式求弦长，然后利用公式直接得出答案。变式(2005年全国高考理科)已知点为椭圆的左焦点.过点的直线与椭圆交于、两点，过且与垂直的直线交椭圆于、两点，求四边形面积的最小值和最大值.解析以点为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：设直线的倾斜角，则直线的倾斜角为，由极坐标系中焦点弦长公式知： ，用他们来表示四边形的面积 即求的最大值与最小值由三角知识易知：当时，面积取得最小值；当时，面积取得最大值 利用弦长公式解决常量问题例一过椭圆的左焦点F，作倾斜角为60的直线交椭圆于A
6、、B两点，若，求椭圆的离心率.简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为则，解得；变式求过椭圆的左焦点，且倾斜角为的弦长和左焦点到左准线的距离。解：先将方程化为标准形式：则离心率，所以左焦点到左准线的距为2。设，代入极坐标方程，则弦长（3） 定值问题例1. 抛物线的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明：定值。解：以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为，设将A,B两点代入极坐标方程，得则=（定值）点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD,求证为定
7、值。证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设则代入可得 ，则注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。例三(2007重庆理改编)中心在原点的椭圆，点是其左焦点，在椭圆上任取三个不同点使证明：为定值，并求此定值解析：以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：，设点对应的极角为，则点与对应的极角分别为、，、与的极径就分别是 、 与 ，因此，而在三角函数的学习中，我们知道，因此为定值 点睛：极坐标分别表示、与，这样一个角度对应一个极径就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？推广2 设椭圆上的n个点，且圆周角等分则也为定值作业（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆的焦点作倾斜角为60的直线和椭圆相交于A，B两点，（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程
