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1、24正态分布1问题导航(1)什么是正态曲线和正态分布？(2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？(3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？2例题导读请试做教材P74练习1题1正态曲线函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，(x)的图象为_正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数_和_确定，因此正态分布常记作_N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为_XN(，2)3正态曲线的性质正态曲线，(x)e，xR有以下性质：(1)曲线位于x轴_上方，与x轴_
2、不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线_x对称；(3)曲线在_x处达到峰值_；(4)曲线与x轴之间的面积为_1；(5)当_一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图；(6)当一定时，曲线的形状由确定，_越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图.4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_0.682_6；P(2X2)_0.954_4；P(3X3)_0.997_41判断(对的打“”，错的打“”)(1)函数，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()(3
3、)正态曲线可以关于y轴对称()答案：(1)(2)(3)2设随机变量XN(，2)，且P(XC)P(XC)，则C()A0BCD答案：D3已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，则P(X3)()A.B.C.D.答案：D4已知正态分布密度函数为f(x)e，x(，)，则该正态分布的均值为_，标准差为_答案：0正态分布的再认识(1)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计0，1的正态分布叫做标准正态分布(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b上的概率等于总体密度函数在a，b上的定积分值(3)从正态
4、曲线可以看出，对于固定的而言，随机变量在(，)上取值的概率随着的减小而增大这说明越小，X取值落在区间(，)的概率越大，即X集中在周围的概率越大对于固定的和，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3原则正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差解从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20，.于是，(x)e，x(，)，总体随机变量的期望是20，方差是2()22.利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x，另一是最值，这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入便可求出相
5、应的解析式扫一扫进入91导学网()正态分布密度曲线1若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由于，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)e，x(，)求正态分布下的概率设XN(1，22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)解因为XN(1，22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(
6、0.954 40.682 6)0.135 9.互动探究在本例条件下，试求P(X5)解：因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用(2)常用结论有对任意的a，有P(Xa)P(Xa)；P(Xx0)1P(Xx0)；P(aXb)P(Xb)P(Xa)2(1)(2015高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6
7、)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56%B13.59%C27.18%D31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%，故选B.(2)设随机变量XN(4，2)，且P(4X8)0.3，则P(X0)_解析：概率密度曲线关于直线x4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.50.30.2.答案：0.2(3)设随机变量XN(2，9)，若P(Xc1)P(Xc1)求c的值；求P(4X8)解：由XN(2，9)可知，密度
8、函数曲线关于直线x2对称(如图所示)，又P(Xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，c2.P(4X8)P(223X223)0.954 4.正态分布的实际应用某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分的学生为不及格学生(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在8090之间的学生占多少？解(1)设学生的得分情况为随机变量X，则XN(70，102)，其中70，10.在60到80之间的学生占的比为P(7010X7010)0.682 668.26%，不及格的学生所占的比为(10.682 6)0.158 715.87%.(2)成绩在80到90之间的学生所占的
9、比为P(70210X70210)P(70104)()A0.158 8B0.158 7C0.158 6 D0.158 5解析由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x3.所以P(X4)P(X4)0.158 7.答案B感悟提高化归与转化思想是中学数学思想中的重要思想之一，在解决正态分布的应用问题时，化归与转化思想起着不可忽视的作用本小题考查正态分布的有关知识，求解时应根据P(X4)P(X2)P(2X4)1将问题转化1设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)，(x)e，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A10与8 B10与2C8与10 D2与10解析：选B
10、.由正态密度函数的定义可知，总体的均值10，方差24，即2.2.(2015高考湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A2 386 B2 718C3 413 D4 772附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.解析：选C.由P(1X1)0.682 6，得P(0X1)0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 0003 413，故选C.3在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0)若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为_解析：如图，易得P(0X1)P(1X2)，故P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案：0.84设XN(5，1)，求P(6X7)解：由已知得P(4X6)0.682 6，P(3X7)0.954 4.又正态曲线关于直线x5对称，P(3X4)P(6X7)0.954 40.682 60.271 8.由对称性知P(3X4)P(6X7)，所以P(6X7)0.135 9. A.基础达标1设随机变量N(2，2)，则D()()A1B2C. D4解析：选C.N(2，2)，D()2.D()
