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1、 以“蚂蚁吃糖”的最短路径为例话建模课改十年来，广大数学教师对数学建模在认识上还知之甚少或重 视不够，在实践中还感到难以施展甚至一筹莫展.因此，颇有必要对 如何建立数学模型展开研讨与交流.笔者认为数学建模的过程应倡导 “问题情境一建立模型一诊释模型一变式拓展一实践应用”的教学模 式.本文试以“蚂蚁吃糖的最短路径问题”为例，对数学建模教学进 行探讨.1. 建模的重要意义.把一个实际问题抽象为用数学符号表示的数 学问题，即称为数学建模，被抽象的数学问题叫数学模型.数学模型 能解释特定现象的现实状态，能预测对象的未来状况，能提供处理对 象最有效的决策.在数学教育中开展数学建模的教育，能培养学生对 解
2、决问题的浓厚兴趣和进行科学探究的强烈意识，培养学生不断进取 和不怕困难的良好学风，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养 学生敏锐的洞察力、丰富的想象力和持久的创造力，培养学生的团结 协作精神和数学素养.2. 建模的一般方法.根据课程标准，教材向学生提供了大量现实、 有趣、富有挑战性的学习内容，这些内容以“问题情境一建立模型一 让释模型一变式拓展一实践应用”的基本形式呈现，这也正是建立数 学模型的常用方法.问题情境.将现实生活中的问题引进课堂，根据问题的特征和目 的，对问题进行简化，并用精确的数学语言加以描述.建立模型.在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画事物之间的数量关系或内部
3、关系，建立相应的数学结构.诊释模型.对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此 来验证模型的科学性.变式拓展.将已求得的数学模型进行变形，拓展 引申到相应的问题之中，用求得的模型来解释新的问题.实践应用.将求得的模型应用到对应的实际问题之中，使原本复 杂的问题得以简化.三、建模的典型示例1.模型引入一孕育一个现实的问题.目自。引例如图1，蚂蚁在一 只圆柱形杯子的底部边沿某处，糖粘在内底边沿的正对面处，能找到 蚂蚁从外面爬进杯子里去享受佳肴的最短路径吗？设计意图:蚂蚁和糖分别处在杯子的“内层”和“外层”，此题具 有很强的挑战性，由此可以引发学生强烈的求知欲望.图1图2图32.模型识别一联想一
4、个熟悉的问题.笔者当时也觉得此题很有挑 战性，后来细想，其实这个问题的解决思想在课本上已有所体现.人 教版数学七年级上册第134页作业第10题:如图2, 一只蚂蚁要从 正方体的一个顶点A沿表面爬行到点B，怎样爬行路线最短？分析这是数学中一个很有趣的“蚂蚁吃糖“问题，据说昆虫有一 种天性，它的嗅觉特灵，似乎很擅长于数学中的几何学，总能选择一 种最佳路线去获取食物.那么最短路径在何方呢？由于两点之间线段 最短，而现在的两点是在立方体上，因此有必要把三维空间转化为二 维平面.不妨把右侧面绕侧棱顺时针旋转90 “，使它与正面在同一个 平面内接成一个矩形，再连接AC交侧棱于点0，连接08，则路线 A-O
5、-B就是最短路线（如图3）.又由于不同的侧面都可展开，每个侧 面都全等，因此共有6条相等长度的路线，设计意图:此题来自教材，学生都很熟悉，并且解决此题的办法 是学生十分熟悉的公理“两点之间线段最短”的简单应用.3. 模型提炼一引申这个熟悉的问题.立方体上蚂蚁吃糖的问题如此，长方体上蚂蚁吃糖问题又会怎样? 笔者不由的想起了杜登尼，19世纪英国著名的迷题创作者，“蚂蚁吃 糖”其实来源于他创作的“蜘蛛和苍蝇的问题”：如图4,在一个长、 宽、高分别为3m、2m、2m的长方体房间内，一只蜘蛛在一面墙的 中间离天花板0.lm处（点A处）苍蝇在对面墙的中间，离地面0.lm处 （点B处），试问，蜘蛛去捉苍蝇需
6、要爬行的最短距离是多少?分析把 长方体的侧面展开后归纳起来可以分4种情况：后7右侧也/ I左侧面埼地面左面墙天花板图7图8如图 5，AB=0.1+3+1.9=5(m);(2)如用十 f34 丽;(3)如图 W- 好正 F.叫2 (砍(4)如图&奶=伊+ V ,龙: 土3 1 % (航.经过比较，可知第一种情况 的路径最短.由此我们发现:(1)当长、高相等时横向展开和纵向展开所求得的路程远近相同，即长、高相等两路皆近;(2)高“小纵向展开走的路近，长“小横向 展开走的路近，即谁小走谁近于是，针对引例中的问题，估计会有这么一个想法:如图9,糖粘 在杯子的外表面就简单了，如粘在正外对面的B处，可以把
7、圆柱(半 径为3cm，高为5cm)沿着点A所在的侧棱进行侧面展开，于是得到 一个矩形，糖就粘在杯子上边沿圆周长一半处.4g=十 9一修-Jm?3 MO. cm)设计意图:有上例作铺垫，通过转化得到一个“最短路线极值模型”：把立体图形沿侧面展开，利用“两点之间线段最短”，求最短路径.4. 模型分析一一化归这个熟悉的问题.可是题目中的糖却粘在正对面的内表面处，这时思路的关键是把 圆柱形杯子侧面看成里外两层，好比一张矩形的纸上下对折后，对折 线当作杯子的上边沿，再让左右两边重合卷出来的圆柱形杯子，让蚂 蚁停在外一层矩形的下底边的左端点处，糖粘在里一层矩形的下底边 的中点处.解题时需把折进去的里层拉出
8、来，原圆柱就变成高度是原 来的2倍，底面一样的新圆柱，再把新圆柱沿着点A所在母线侧面 展开，那么蚂蚁还在A处，糖就跑到了 B处(如图10)，如是最短路 径就是这个展开矩形上的线段AB，AB=屈耳&宓 188,73 E3. 8 (cm)因此，蚂蚁至少要爬约13.scm才能享受佳肴.S10设计意图:通过对“正方体”和“长方体”表面最短路径的探讨， 让学生在模仿解答的过程中，进一步熟悉“圈柱体表面最短路径”模 型的特征及其解.5. 模型拓展 祠示这个熟悉的问题.多次重复和简单的模仿并 不能真正掌握一个数学模型，只有掌握了模型的特征和本质，才能熟练、灵活地应用数学模型，因此，模仿之后的延伸和拓展（意在
9、揭示 模型的本质）是数学模型教学过程中不可或缺的一环，它是模型通往 应用与创新的前提.笔者在此不由的又想起了人教版八年级下册89页 “拓广探究”栏目第8题:已知，如图11（左），圆柱的底面半径为6cm， 高为10cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少（精确到0.Icm “B分析将圆柱体沿过点A的母线AC剪开并展开在同一平面上，得 到图11（右），,捕=仲+ 10 -21 一 3血）.但若将圆柱的底面半径改为10cm，高改为6cm，蚂蚁从A点爬 到B点的最短路程是多少?根据上述求法得：J6r-+31.42 *32. 0（皿）但是如果蚂蚁先沿母线AC由A-C，然后在上底面沿直径CB 由C-B，路
10、径长为:6+2X10=26（cm）.根据上面的计算发现，圆柱体的 高和底面直径发生变化时，最短路径也可能发生变化，不妨设高为h， 底面半径为r，上（1）若沿AC剪开蚂蚁在侧面上爬行“线段 AB ”，路径长为: L = JF+nM（2）蚂蚁先沿图12母线AC由A-C，然后在上底面沿直径CB由 C-B，路径长为:L2=h+2r，分别将Ll和L2平方后得：渚=h2+ 7?，气 Lj = A2 +4址+4 产，曲6= Lf 一 Lld=（# -4）r2-Ur（h 是常数）（h是常数），由此可知，d是;的二次函数，且它的图象与横轴的 两个交点的坐标是（0，0），卢i），（如图12所示）可得如下结论：（1
11、） 当0r4h矿一 4时，do，即斌瑞，则口 4h铲一 4时，d0，即L圣1【，则LlL:，此时，先沿母 线由AoC，再沿直径由C弓刀，路径最短;设计意图:改变圆柱体的底 面圆半径和高，问题的本质虽然没有发生变化，但受“底圆半径和高” 的影响，最短路径可能会发生变化，让学生进一步探讨.6.模型推广 一解决一类相似的问题.形式化是数学的基本特征之一，数学的魅力 不仅仅表现在实际生活中的广泛应用上，还表现在数学在培养学生思 维自幼上，有着其它学科不可替代的作用.注重数学模型在数学问题 中应用，既可以升华学生对模型本质的认识，提高解题能力，又能有 效的培养学生的逻辑推理能力和良好的思维品质，面对问题
12、时能主动 尝试着从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，培养学 生的应用意识和建模能力.一般地，求一个多面体沿表面两点的最短 距离的方法是:沿两个点所在平面的公共棱展开成平面图形;求一个旋 转体（除球外）沿表面两点的最短距离的方法是：沿旋转体的某条母线 展开成平面图形（还要考虑高和底面圆的直径对路径长的影响）:如果 不涉及内外两层的情况，只要在上述展开的基础上，再把内外两层沿 边线对称地展开成平面，进而化归为平面内两点之间线段最短的问 题，方法都是“展平”.笔者通过模型引入、识别、提炼、分析、拓 展、推广等方法启发、诱导学生，其目的是为了让学生亲身经历知识 的发生、发展、形成与应用的过程，更好地理解数学知识的来龙去脉. 使学生会用数学的思考方式解决问题，认识世界.这有助于学生发现 问题、解决问题能力的提高，有助于学生数学思想的发展，有助于学 生对数学方法、数学思想的掌握和运用，有助于培养学生归纳、推理 和猜想能力.这样的过程对学生掌握必需的双基，培养他们的思维品 质、应用能力和创新意识等方面，都会在潜移默化中起到促进作用.
