《上海市嘉定二中2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市嘉定二中2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上海市嘉定二中2020-2021学年高二上学期第一次质量检测数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_1 2设是等比数列的前项和,若,则公比_.3_.4已知数列的前n项和为,则_.5在等比数列中,前项和,则_6_.7设无穷等比数列的公比,则_8已知,则_.9计算：_.10若数列是首项为1,公比为的无穷等比数列,且各项的和为,则的值是_.11一个球自高的地方自由落下,触地后的回弹高度是下落高度的,到球停止在地上为止,则球运动的路程的总和是_m.12已知数列的通项公式为,其前n项和为,则_.13已知数列,（）,如果数列和的极限均存在,那么在下列数列中,其极限不一定存在的数列是（ ）ABCD14用数学
2、归纳法证明“”,从“k到”左端需增乘的代数式为（ ）ABCD15若无穷等比数列中任何一项都等于该项后面所有各项和,则等比数列的公比是（ ）ABCD16已知无穷等比数列的公比为q,前n项和为,且,下列条件中,使得恒成立的是（ ）.ABCD17设是数列的前n项和,且.（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式.18已知数列满足：,且为等差数列,数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）求.19为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车120辆,混合动力型公交车
3、300辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加,混合动力型车每年比上一年多投入辆.设,分别为第年投入的电力型公交车,混合动力型公交车的数量,设,分别为年里投入的电力型公交车,混合动力型公交车的总数量.（1）求,并求年里投入的所有新公交车的总数；（2）该市计划用8年的时间完成全部更换,求的最小值.20如图所示,设正方形的面积为1,正方形的面积为,正方形的面积为,它们的面积都比前者缩小,无限地作这种正方形.（1）求所有这种正方形面积的和；（2）点、,当无限增大时,求点无限地趋近哪一个点？（3）点、,写出点的坐标,当无限增大时,求点无限地趋近哪一个点？21设数列是等差数列,且公差为d,若数列中任
4、意（不同）两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.（1）若,求证：该数列是“封闭数列”；（2）试判断数列是否是“封闭数列”,为什么?（3）设是数列的前n项和,若公差,试问：是否存在这样的“封闭数列”,使；若存在,求的通项公式,若不存在,说明理由.参考答案1【解析】试题分析：运用极限运算法则,需将极限形式转化到“可用”的条件：一是有限项,二是个项极限存在.考点：数列极限21或【解析】【分析】当公比时,符合题意；当公比时,由已知可得,解之即可.【详解】解：当公比时,故,符合题意；当公比时,即,解之可得,或（舍去）综上可得,或,故答案为：1或.【点睛】本题考查了等比数列的前项和,重点考
5、查了分类讨论的数学思想方法,属基础题.32【解析】【分析】先化简原式为,即得解.【详解】由题得.故答案为：2【点睛】本题主要考查数列的极限的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4【解析】【分析】当n2时,an=SnSn1,验证首项,即可求通项an.【详解】a1=S1=9,当n2时,an=SnSn1=,当n=1时,a1=94,故答案为【点睛】本题考查了由数列的前n项和公式求数列的通项公式,属于中档题,解题时特别注意两点,第一,要分类讨论,分和两种情形,第二要掌握这一数列中的重要关系,否则无法解决此类问题,最后还要注意对结果的处理,分段形式还是一个结果的形式.5【解析】【分析】由等比数列的
6、前项和求出首项,再求出时的通项公式,代入即可得到结论.【详解】在等比数列中,由前项和为,则,当时,由,所以,即.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的前项和,属于基础题6【解析】【分析】利用数列的极限的运算法则结合二项展开式,化简求解即可【详解】故答案为1【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用及二项式的展开公式,考查计算能力7【解析】【分析】求出的值,然后利用等比数列的求和公式求出,由此可计算出所求极限值.【详解】由等比数列的定义可知,所以,数列是以为首项,以为公比的等比数列,.因此,.故答案为.【点睛】本题考查数列极限的计算,同时也考查了等比数列求和,解题时要熟
7、悉几种常见的数列极限的计算,考查计算能力,属于中等题.8【解析】【分析】先对所求的极限通分化简,再分析分子分母项的系数求解.【详解】因为,若则极限不可能是常数,所以 ,所以 ,同理,解得 ,所以 ,解得 ,所以故答案为：【点睛】本题主要考查数列极限的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.91【解析】【分析】先求出和,再由极限法则求极限【详解】,故答案为：1.【点睛】本题考查数列的极限,解题时对于求极限式性质化简,也就是象和式,必须计算后再求极限102【解析】【分析】由无穷等比数列各项的和为,结合等比数列的前n项和公式列方程求解即可【详解】由题意知,且,所以各项的和,解得或,因为,所以只有满
8、足题意【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与极限思想,属于基础题1120【解析】【分析】根据题意,每次着地后回弹再落地经过的路程依次为：,构成以为首项,以为公比的无穷递缩等比数列,按照求和后再与相加即可.【详解】由题意,每次着地后回弹再落地经过的路程依次为：,构成以为首项,以为公比的无穷递缩等比数列,其和为,所以,球经过的路程的总和为.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的判定,无穷递缩等比数列求和,建模解模的数学思维,属于基础题.12【解析】【分析】先对数列求和得到,再求极限.【详解】当时,当时,当时,故答案为：.【点睛】本题考查了数列的求和问题,考查了等比数列的求和公式,考查了极限
9、的求法,属于基础题.13D【解析】【分析】利用极限的运算法则与性质,结合反例,逐项判定,即可求解.【详解】由题意,数列和的极限均存在,设数列和的极限分别为,则,所以A正确；又由,所以,所以B正确；由,所以C正确；对于D中,例如,可得,此时数列的极限不存在.故选：D.【点睛】本题主要考查数列的极限的定义,以及数列的极限的运算法则的应用,其中解答中熟记极限的运算法则,逐项判定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.14B【解析】【分析】分别写出当和时,等式的左边的表达式,进行比较,即可求解.【详解】当时,等式的左边,当时,等式的左边,所以当从“到”左端增乘的代数式为.故选：B.【点睛】本题主要考查
10、了数学归纳法及其应用,其中解答中正确写出从“到”等式左端的表达式是解答的关键,属于基础题.15B【解析】【分析】由题意结合无穷等比数列所有项和的公式可得,再求解即可.【详解】解：由无穷等比数列中任何一项都等于该项后面所有各项和,则,则 ,即,解得,故选B.【点睛】本题考查了无穷等比数列所有项和的公式,属基础题.16B【解析】【分析】根据为无穷递缩等比数列可得,再就分类讨论后可得的取值范围,结合该范围可得正确的选项.【详解】因为,因为,故,故对任意的,总有,即,若,则即对任意的恒成立,当或时,显然对任意的,不恒成立,故A,C错误；当,则即对任意的恒成立,当时,若,则,故选项D不恒成立；故选：B.
11、【点睛】本题考查数列的极限以及数列不等式的恒成立,后者注意根据的正负来讨论,本题为综合题,有一定的难度.属于中档题.17（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用关系式的变换的应用求出数列为等差数列（2）利用递推关系式的应用求出数列的通项公式【详解】（1）因为,所以两边同除以得因为,所以因此数列是首项为,公差为的等差数列（2）由（1）得,当时,于是（首项不符合通项）,故【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用,数列的递推关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础性题18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推关系求出数列的公差,再根据等
12、差数列的通项公式求出通项即可；（2）求出等差数列的前n项和,化简,求极限即可.【详解】（1）,两式相减得：,又,（2）由（1）知,.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,递推关系式,数列的极限,属于中档题.19（1）,；（2）60.【解析】【分析】（1）由题意可得：数列为等比数列,首项为120,公比为；数列为等差数列,首项为300,公差为,利用等差数列与等比数列的前项和公式即可得出. （2）,解出即可.【详解】（1）由题意可得：数列为等比数列,首项为120,公比为；数列为等差数列,首项为300,公差为.,.（2）,解得,因此的最小值为60.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的前项和公式,
13、考查了学生分析问题、解决问题的能力,属于中档题.20（1）2；（2）点无限地趋近点；（3）,点无限地趋近于.【解析】【分析】（1）由题得所有的正方形的面积组成以1为首项,以为公比的等比数列,即得解；（2）由题得点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,再求点无限地趋近的点的坐标；（3）由题得点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,、,纵坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列求解.【详解】（1）由题得所有的正方形的面积组成以1为首项,以为公比的等比数列,所以所有这种正方形面积的和为.(2)由题得点,所以点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,当无限增大时,的横坐标无限趋近,所以当无限增大时,点无限地趋近点.（3）由题得点,所以点的横坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,、,纵坐标是一个以1为首项,以为公比的等比数列,所以点的横坐标为,点的纵坐标为.所以.当无限增大时,点无限地趋近点.【点睛】本题主要考查等比数列的判断和求和,考查等比数列各项的和和极限,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21（1）证明过程见详解；（2）不是；理由见详解；（3）存在满足题意,理由见详解.【
