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1、第二章冠状面、矢状面、横断面的提取及交互处理2.1引言通常人们都是通过CT或MRI(核磁共振成像)来获取医学图像的二维切片，但由于原始的CT切片有很多的局限性，例如，二维切片不能够清晰的反应出三维空间的内部组织结构；二维切片的提取所需时间较长；在存取时占用内存空间较大。因此，我们针对原始CT切片的众多局限性分析讨论，并对其改进。在获得医学图像横断面的序列切片后，我们引入了多平面重组法，进而获得了图像的冠状面及矢状面的序列二维切片。目前在医学图像显示领域，图像二维显示已发展的较为成熟，人们也已把目光放在更高维的显示方面。但是，二维显示却也是不可或缺的。对于医生来说，在研究手术方案时，提供一组二维
2、切片是必要的。针对这一方面我们提供了一个便于医生操作的二维显示交互平台。通过此平台，医生可以对二维切片进行变换，并对所显示的任意组织进行测量。2.2二维图像横断面获取在早期，计算机断层成像技术的方法主要是由投影来重建出该对象的二维图像。该投影重建方法在后来的医学图像成像研究中具有很大的影响。在国外，AllanM.Cormack等人早在50年代便开始探讨各种CT的原理。应用傅里叶变换，主要是利用对象截面投影和该截面图像之间的数学关系，重建出该截面图像，即傅里叶投影截面定理。60年代末期，英国EMI公司的实验中心建立了一套CT设备。于1972年春正式发表头部CT影像。随着CT设备的建立，计算机断层
3、成像技术便迅速发展起来，并在医疗诊断方面发挥着重要作用。现在断层图像重建技术发展更加成熟，人们可以重建出精度较高的二维图像。这些图像序列为本文进行二维切片三维显示所需体数据的获取打下很好的基础。2.2.1傅里叶变换在二维图像获取中的应用我们知道，二维图像的一维投影的傅里叶变换9与此二维图像的傅里叶变换的中心剖面相等，而傅里叶变换重建方法也是以此为基础的。通过将投影进行一定角度的旋转和傅里叶变换可以首先构造整个傅里叶变换的平面。若令f(x,y)代表一图像函数，则沿y轴在x轴上的投影示意图如图2.1所示。投影图像表达式为：1/17tg(x)=f(x,y)dy（2.1）-rr图2.1二维图像在x轴上
4、的投影示意图对投影图像函数作一维傅里叶变换：G(u)=g(x)e-2pguxdxdy（2.2）-取f(x,y)的傅里叶变换：F(u,v)=f(x,y)e-2pg(ux+rv)dxdy（2.3）-所以，F(u,0)=f(x,y)e-2pguxdxdy（2.4）-由（2.2）（2.4）式可知，F(u,0)=G(u)（2.5）y其中F(u,0)为二维图像傅立叶变换中过y=0的图像。2.2.2扩展傅里叶变换在二维图像的获取对上面所得到的结论我们进行扩展，讨论沿任意角度进行投影的一般情况。现在若将函数投影方向与y轴成一个角度，设该旋转角度为q角。如图2.2所示。2/17图2.2二维图像在s轴上的投影示意
5、图在这里，我们需要定义旋转坐标为：sns=xcoq+ysiqnst=-xsiq+ycoq（2.6）（2.7）即沿t轴在S轴上的投影表达式为：g(s,q)=f(x,y)dt（2.8）-SOT坐标系与XOY坐标系的坐标变换关系如下：sscoqnt=-siqnsiqxscoqy（2.9）现在对g(s,q)作傅里叶变换为：G(R,q)=g(s,q)e-2pgRtds（2.10）-由式（2.9）可知：sns=xcoq+ysiq（2.11）所以展开后为：G(R,q)=osqf(x,y)e-2pgRi(cq+ysin)dxdy（2.12）v=Rsinq-若使展开式与投影的二维傅立叶变换相等，则先令指数项做某
6、种代换得到：su=Rcoq（2.13）此时相当于点(u,v)位于与u轴成q角的直线上，与原点的距离为R。则：3/17G(R,q)=F(u,v)(2.14)即当变量u、v，和R，q满足211式时，二维图像f(x,y)在与y轴成q角的方向上的投影的傅里叶变换，等于该图像的二维傅里叶变换。采用不同的方向角q插入到三维变换域中，建立一个傅立叶变换空间。在三维空间中的任意平面都可以被重建，则一个二维图像的重建也不失一般性。通过某一图像的不同方向角q做投影，经过变换后可得图像中一条过原点的直线上的数据。最终可以获得其二维傅里叶变换，如图2.3所示。图2.3图像的二维傅里叶变换空间从上述论证可知，只要我们有
7、足够多的投影傅立叶变换G(R,q)，就能够获得旋转q角度前的二维图像的傅立叶变换，通过傅立叶逆变换就可以获得旋转q角度前的图像表达式f(x,y)。即：f(x,y)=F(u,v)e2pg(ux+vy)dudv（2.15）-f(x,y)=G(R,q)e2pgR(xcosq+ysinq)RdRdq（2.16）-由以上结论得出：我们可以采取新的方法来获得投影，即按给定的不同方向角q经过原点抽取一个截面，再将这个截面作傅里叶逆变换。这一新方法的优点是，将原来在整个三维空域数据场中的重采样变为在对应的频域场中二维截面的抽取，即二维截面的采样，从而降低了采样计算的复杂度。2.2.3对扩展后的傅里叶变换在二维
8、图像获取方式的分析与讨论随着医学图像在各个领域的深入研究，尤其是计算和测量方面所采用手段的日益完善，加大了系统所要处理的数据量。这就给很多设备带来了极大的压力。4/17虽然在研究中我们已经降低了系统处理数据量，但是所花费的计算时间仍不能令人满意。其实上述算法在计算速度方面还具有一定的潜力，但并没有充分发挥出来。数据量的增加导致了存储量的增加这对绘制速度也产生一定的影响。通过分析讨论，我们还发现其存在另一问题。如图2.4所示，运用上述原理我们得到的图像类似于一张X光照片，尤其在医疗诊断方面，医生要求生成的图像具有更高的图像深度信息，且在图像前后遮挡关系方面也没有反映出来。这主要是由于线积分的结果
9、与采样点到屏幕的距离无关；另一方面是和采样点的前后关系无关。目前这些二维图片已经很难满足医生在诊断中的需求，这些图像并不能清晰地反映三维空间的内部结构。图2.4由傅里叶截面定理所产生的人脑横截面图像2.3改进后的二维图像横截面获取随着研究的深入，可视化系统所要处理的数据量日益扩大，针对以上问题，我们需要努力降低存储空间的需求。我们以医学图像为例，目前医学数据的体元规模都能达到512512100个，其为26MB字节，若赋以颜色值（R,G,B），则达到80MB字节左右。这对于很多图像处理工作站来说都是很重的负担。采用上述算法所得到的每一个点都必须由一个复数来表示，这就必须同时存储实部、虚部两部分数
10、值。实际上我们最终得到的二维图像，都是直接定义在实数域中的，然而在中间过程中，却必须保留虚数，这就使得存储空间加大一倍。经过实验我们可以采用完全在实数域中定义的变换方法。5/172.3.1引入Hartley变换对其改进设一维函数f(x)，如果存在与其对应的连续Hartley变换，那么它也是一个一维函数，记为H(u)，其定义为：H(u)=f(x)cas(ux)dx（2.17）-上式中，cas()函数的定义为：cas(q)=cos(q)+sin(q)（2.18）由上所诉，我们可以将其推广到多维情况，即：H(u)=f(x)cas(ux)dx（2.19）-在实际进行数值计算时，使用更多的是Hartley变换的离散形式。三维空域离散数据场可以通过三维离散Hartley变换而得到三维频域离散数据场。其定义为：H(u,u,u)=2N31N3d123Nx1=1x2=1x3=1f(x,x,x)cas(2p(3d123ux11+N1ux2N22+ux33)（2.20）N32.3.2改进后的傅里叶变换众所周知，任何一实函数f都可以分解为一个偶函数feven和一个奇函数fodd之和，即：f=feven+fodd（2.21）我们可以根据傅里叶变换的线性性质得到：F(
