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1、圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学 生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够 灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1. 如图：。O的半径为2,点A、B、C 在0O 上, OAOB,ZAOC=6Q, P 是OB上一动点，求PA+PC的最小值.图3|分析:延长AO交0O于D,连接CD交0O于P,即此时PA+PC最小，且PA+PC的最 小值就等于弦CD的长.解：延长AO交0 O于D,连接CD交OB于P连接PA，过O作OE CD，垂足为E在 OCD中，因为匕AOC=6Q 所以匕D=Z C=3Q在 Rt
2、A ODE 中 cos3Q =即 DE=2X cos3Q 二所以 CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2. 如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(一3, 2),0 A的半径为1, P 为x轴上一动点，PQ切0 A于点Q ,则PQ长度的最小值为? vO Por 亍分析:连接AQ、PA，可知AQXPQ.在RtAPQA中，PQ二 求PQ的最小值 转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接 PA、 QA因为PQ切0 A于点Q所以PQXAQ在 RtAAPQ 中，PQ2=PA2AQ2即PQ=又因为A (3, 2)，根据垂线段最短。所以 PA 的最小值为
3、2 所以 PQ 的最小值 二三、利用两点之间线段最短求最值3. 如图：圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点，一只蚂蚁 从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A. B. 2C 3 D. 3分析:因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D,不好求爬行的最小值， 要把立体 图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得：弧AC的长为 2nr=2n 2=4n, PA=6 因为 4 n=所以 n=120 即匕 APB=60 又因为PA=PB所以 PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD PB PD=DB=3 在
4、RtPAD 中，AD=,故选 C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4. 如图：半径为2.5的。O中，直径AB的两侧有定点C和动点P,已知点Q,BC： CA=4： 3,点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于（1）求匕P的正切值；2）当CPXAB时，求CD和CQ的长；.P.CQ、i：i. Idi -I CQ 的PC 是。O分析:易证明 ACBs PCQ,所以，即CQ=PC.当PC最大时，CQ最大，而的动弦，当PC是。O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5. 如图：已知。O的半径为2,弦BC的长为2,点A为弦BC所对优弧上任意 一点，(B、C网-点除外),求左A
5、BC面积的最大值.分析:设BC边上的高为h因为 SAABC=BC h= X 2h=h当h最大时SAABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD BC于D连接BO即BD=CD=在 RtABDO 中，OD2=OB2BD2=22 ()2=1所以OD=1所以AD=2+1=3所以 SAABC=XBC *AD=X2X 3=3即 ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6.用48米长的篱笆材料，在空地上 围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场 地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.分析：周长一定的几何图形，
6、圆的面积最大解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则 S1=()2=144 S2=n ()2=因为n S1所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7. 如图：在半径为1的。O中，AB是弦，OMXAB，垂足为M,求OM+AB的最 大值分析:可设AM=x,把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元 二次方程，然后利用判别式来求最值解：设AM=x，在RtAOAM中OM=所以 OM+AB=+2x=a整理得：5x2 4ax+ (a2 1) =0因为二(一4a) 2 4X 5X (a2 1)N 0即a2W 5所以aW所以 OM+AB 的最大值为 八
7、、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8. 如图：海边立有两座灯塔A、B,暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的 弧是。O的一部分)区域内，匕AOB=80,为避免触礁，轮船P与A、B的张 角匕APB的最大值分析:连接AC,易知匕ACB=ZAOB=40，又因为匕ACBZ P,所以匕P 的最大值为解：如图：连接AC,根据圆周角定理可知ZACB=ZAOB=X80 =40又因为匕ACBZ P即匕APBW 40所以Z APB的最大值为40 九、利用经过。O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9. 如图：。O的半径为5cm,点P为。O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦 AB长度的最小值为c
8、m.分析:过P作ABXOP，交。O于A、B,则AB的长最小.解：在 RtOAP 中，AP=所以 AB=2AP=2X 4=8所以AB的最小值为8点P为。O外一点，PQ切。O于点Q,0 O的半径为3cm，切线 则点P与0 O上各点的连线长度的最大值为，最小值为过P、O两点作直线交0 O于A、B,则PA的长度最大，PB的长度十、利用经过圆外一点与圆心的直线与。O的两个交点与点P的距离最大或最 小求最值10. 如图：PQ的长为4cm,分析: 最小.解：连接OQ因为PQ切。O于Q所以OQ PQ在 Rt PQO 中 PQ2+OQ2=OP2即 42+32=0P2 所以 0P=5所以 PB=5 - 3=2 PA=6+2=8所以点P与G）。上各点连线长度的最大为8cm,最小值为2cm.
