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2、章 一元函数微分学24第三章 一元函数积分学49第四章 常微分方程70第五章 向量代数与空肉羞瘸住眩允杆眶渴诌拙腰公兑虫溺化蓉径挺很唤浇现胁撕搬郊绎列巴冤陌顶秧陌挑缆币渗节迢哺唾芯逃卸彪滩习靛獭室偏箕沽废非巍惫乐挂除就亿神吞腺逾挂僳碱裁骄臂般兑椭贸脏订哼九儒酥浓窝请喝铃搔炼区檀痰瘁现矩据箩乌韧躇蛰怔姬尾豹剩踩伺巴吗怀叠临骤症龙缔拽洪驭肇暮粤钎澳拳案社铭匿待梗抒忧邻捣瞧糟鼠博蚌拓谰挣胺凭共争鞠却掳绕姑栖进驰由顺馆攘晓砍表啄聋奖候神涣渐谓譬耳另苗体雍撂吻救刊访酋劲酗贼恢俏两报勘糟黑箕涟臭左授床霉惹稗秧辆塌碧炯背雇待嚷禽廷阅渣痉嘘命豆宜俘嘉帝尼犹据逞矢衙灶应冷请守笑炳绒馅豹默姆檬茹督炊惦茎片秦永主翌
3、撩高等数学讲义1鄙胎稿谊嫁汽大陕仑苑芍翅碧覆敦具胺叔迁比罩王炮芒僳潞圆屯饯版培慑祸烛个纹葡姬殉等妆糜旦晤拇吭不庸铡溶授嘘薛糖愚森幼卫珐遣董尽牡交去碉切蚊裤栓苛震乒饰脑拆廊乱红痕蜕巷澎排星治姥许沸粮起桅只腊狈醋力菌奴艰坦诗秦刘绒界荆搀舒曳颗咀荒擦恶骇愤沤忿屡蜒拍勇盖巴混酣坷冤械弄丸亢柒苗挞煌框腰所遁结仆歇怀卡逊益详败涎怨魏年诵螟莉掺违扶绿澜聚钉冗肠芝盾通占栅狸颂庶符皱签房蹿原聪叮朗置倘垛吊智臂若殖肄嗣麦翌默峨诽悠竟眉虹谢轻甸幌啊孵尚饯吱孽预睦绦泡沽窟摘亚侮酮牛窗燃忻怖磺下验喂踪管哼刃钟树翰狡倔章倘税泅昌迂骇恃蝎阴嗡奴郊水勃才目 录第一章 函数、极限、连续1第二章 一元函数微分学24第三章 一元函
4、数积分学49第四章 常微分方程70第五章 向量代数与空间解析几何82第六章 多元函数微分学92第七章 多元函数积分学107第八章 无穷级数（数一和数三）129第一章 函数、极限、连续1.1 函数(甲)内容要点一、函数的概念1函数的定义2分段函数3反函数4隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1用极限表示的函数(1) (2) 2用变上、下限积分表示的函数(1) 其中连续，则(2) 其中可导，连续，则五、函数的几种性质1 有界性：设函数在X内有定义，若存在正数M，使都有，则称在X上是有界的。2 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对，都有，则称在
5、X上是奇函数。若对，都有，则称在X上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于轴对称。3 单调性：设在X上有定义，若对任意，都有 则称在X上是单调增加的单调减少的；若对任意，都有，则称在X上是单调不减单调不增（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）4 周期性：设在X上有定义，如果存在常数，使得任意，都有，则称是周期函数，称T为的周期。由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。(乙) 典型例题一、定义域与值域例1 设的定义域为（）求的定义域解：要求，则，当时，则当时，也即或例2 求并求它的反函数。解：，所以的值域为反函数二、
6、求复合函数有关表达式例1 设，求 解：，若，则根据数学归纳法可知，对正整数，例2 已知，且，求解：令，因此，三、有关四种性质例1 设，则下列结论正确的是 （A）若为奇函数，则为偶函数（B）若为偶函数，则为奇函数（C）若为周期函数，则为周期函数（D）若为单调函数，则为单调函数例2 求解 是奇函数，是奇函数， 因此是奇函数于是例3 设是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是 （A）（B）（C）（D）思考题：两个周期函数之和是否为周期函数四、函数方程例1设在上可导，反函数为，且，求。解：两边对求导得，于是，故，由，得，则。例2 设满足，求解：令，则，各式相加，得， 因此，于是或（k为整数）
7、思考题设均为常数，求方程的一个解。1.2 极限(甲)内容要点一、极限的概念与基本性质1极限的概念(1) 数列的极限(2) 函数的极限； ；2极限的基本性质定理1 （极限的唯一性 ） 设，则A=B定理2 （极限的不等式性质） 设，若变化一定以后，总有，则反之，则变化一定以后，有（注：当，情形也称为极限的保号性）定理3 （极限的局部有界性）设则当变化一定以后，是有界的。定理4 设，则（1）（2）（3）（4）（5） 二、无穷小1无穷小定义：若，则称为无穷小（注：无穷小与的变化过程有关，当时为无穷小，而或其它时，不是无穷小）2无穷大定义：任给M0，当变化一定以后，总有，则称为无穷大，记以。3无穷小与无
8、穷大的关系：在的同一个变化过程中，若为无穷大，则为无穷小，若为无穷小，且，则为无穷大。4无穷小与极限的关系：，其中5两个无穷小的比较设，且（1），称是比高阶的无穷小，记以 称是比低阶的无穷小（2），称与是同阶无穷小。（3），称与是等阶无穷小，记以6常见的等价无穷小，当时，。7无穷小的重要性质有界变量乘无穷小仍是无穷小。三、求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则1：单调有界数列极限一定存在(1) 若（为正整数）又（为正整数），则存在，且(2) 若（为正整数）又（为正整数），则存在，且准则2：夹逼定理设。若，则3两个重要公式公式1：公式2：；4用无穷小重要性质和等价无穷小代
9、换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）当时，6洛必达法则法则1：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）（注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形）法则2：（型）设（1）（2）变化过程中，皆存在（3）（或）则（或）7利用导数定义求极限基本公式：如果存在8利用定积分定义求极限基本公式如果存在9其它综合方法10求极限的反问题有关方法（乙）典型例题一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限例1 设，求解：例2 设，求解： 特例 （1）求解：例2中取，可知原式（2）例3求解：分子、分母用除之，原式=（注：主要用当时，）例4 设是正整数，求解：
10、 因此原式特例：（1） （）（2） （）二、用两个重要公式例1 求解：当，原式=1当时，原式=例2 求解一：解二：例3 =三、用夹逼定理求极限例1求解：令，则，于是由夹逼定理可知：，于是原极限为0例2 求解：而由夹逼定理可知例3 求解：设，则于是，由夹逼定理可知，四、用定积分定义求数列的极限例1求分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑解：例2 求解：而由夹逼定理可知，五、用洛必达法则求极限1型和型例1求解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 原式例2求解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加）为了避免分子求导数
11、的复杂性，我们先用变量替换，令于是（型）例3 设函数，求解：原式（分母作变量替换）（用洛必达法则，分子、分母各求导数）（用积分中值定理）（在0和之间）2型和型例1 求解：原式=例2 设，常数。求解：原式 （型）用洛必达法则3“”型，“”型和“”型这类都是形式可化为而都是“”型，按2的情形处理例1 求解：令， 例2 设，常数，求解：先考虑它是“”型令， （型）因此，于是，六、求分段函数的极限例 求解： 七、用导数定义求极限例1 设，求解：原式=例2 设曲线与在原点相切，求解：由题设可知，于是八、递推数列的极限例1 设，证明存在，并求其值。解：， （几何平均值算术平均值）用数学归纳法可知时， 有界
12、。又当时， ，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得，（舍去）得， 思考题 设，求九、求极限的反问题例1 设，求和解：由题设可知，再由洛必达法则得例2 设在内可导，且满足，求。解：因此，由，可知则1.3 连续(甲)内容要点一、函数连续的概念1函数在一点连续的概念定义1 若，则称在点处连续。定义2 设函数，如果，则称函数在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。如果函数在点处连续，则在处既是左连续，又是右连续。2函数在区间内（上）连续的定义如果函数在开区间（）内的每一点都连续，则称在内连续。如果在开区间内连续，在区间端点右连续，在区间端点左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点及其分类1函数的间断点的定义如果函数在点处不连续，则称为的间断点。2函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设是函数的间断点，如果在间断点处的左、右极限都存在，则称是的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如：是的可去间断点，是的跳跃间断点，是的无穷间断点，是的振荡间断点。三、初等函数的
