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1、第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 练习(P77) 1、略. 2、 . 这两个向量的长度相等 但它们不等. 3、 . 4、(1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同. 习题2.1 A组(P77) 1、(2). 3、与相等的向量有:;与相等的向量有:; 与相等的向量有:. 4、与相等的向量有:;与相等的向量有:; 与相等的向量有: 5、. 6、(1);(2);(3);(4). 习题2.1 B组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与同向的共有6对 与反向的也有6对;与同向的共有3对 与反向的也有6对;模为的向量共有4对;模
2、为2的向量有2对 2.2平面向量的线性运算 练习(P84) 1、图略. 2、图略. 3、(1);(2). 4、(1);(2);(3);(4). 练习(P87) 1、图略. 2、 . 3、图略. 练习(P90) 1、图略. 2、 . 说明:本题可先画一个示意图 根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向. 3、(1);(2);(3);(4). 4、(1)共线;(2)共线. 5、(1);(2);(3). 6、图略. 习题2.2 A组(P91) 1、(1)向东走20 km;(2)向东走5 km;(3)向东北走km; (4)向西南走km;(5)向西北走km;(6)向东南走km. 2、飞机飞行的路程
3、为700 km;两次位移的合成是向北偏西53方向飞行500 km. 3、解:如右图所示:表示船速 表示河水 的流速 以、为邻边作 则 表示船实际航行的速度. 在RtABC中 所以 因为 由计算器得 所以 实际航行的速度是 船航行的方向与河岸的夹角约为76. 4、(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7). 5、略 6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则让学生理解 若三个非零向量的和为零向量 且这三个向量不共线时 则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、(1)略;(2)当时 9、(1);(2);(3);(4). 10、 . 11、如图所示 . 12
4、、 . 13、证明:在中 分别是的中点 所以且 即; 同理 所以. 习题2.2 B组(P92) 1、丙地在甲地的北偏东45方向 距甲地1400 km. 2、不一定相等 可以验证在不共线时它们不相等. 3、证明:因为 而 所以. 4、(1)四边形为平行四边形 证略 (2)四边形为梯形. 证明: 且 四边形为梯形. (3)四边形为菱形. 证明: 且 四边形为平行四边形 又 四边形为菱形. 5、(1)通过作图可以发现四边形为平行四边形. 证明:因为 而 所以 所以 即. 因此 四边形为平行四边形. 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 练习(P100) 1、(1) ;(2) ; (3) ;(4) .
5、2、 . 3、(1) ;(2) ; (3) ;(4) 4、. 证明: 所以.所以. 5、(1);(2);(3). 6、或 7、解:设 由点在线段的延长线上 且 得 所以点的坐标为. 习题2.3 A组(P101) 1、(1);(2);(3). 说明:解题时可设 利用向量坐标的定义解题. 2、 3、解法一: 而 . 所以点的坐标为. 解法二:设 则 由可得 解得点的坐标为. 4、解: . . 所以 点的坐标为; 所以 点的坐标为; 所以 点的坐标为. 5、由向量共线得 所以 解得. 6、 所以与共线. 7、 所以点的坐标为; 所以点的坐标为;故 习题2.3 B组(P101) 1、 . 当时 所以;
6、 当时 所以; 当时 所以; 当时 所以. 2、(1)因为 所以 所以、三点共线; (2)因为 所以 所以、三点共线; (3)因为 所以 所以、三点共线. 3、证明:假设 则由 得. 所以是共线向量 与已知是平面内的一组基底矛盾 因此假设错误 . 同理. 综上. 4、(1). (2)对于任意向量 都是唯一确定的 所以向量的坐标表示的规定合理. 2.4平面向量的数量积 练习(P106) 1、. 2、当时 为钝角三角形;当时 为直角三角形. 3、投影分别为 . 图略 练习(P107) 1、 . 2、 . 3、 . 习题2.4 A组(P108) 1、 . 2、与的夹角为120 . 3、 . 4、证法
7、一:设与的夹角为. (1)当时 等式显然成立; (2)当时 与 与的夹角都为 所以 所以; (3)当时 与 与的夹角都为 则 所以; 综上所述等式成立. 证法二:设 那么 所以; 5、(1)直角三角形 为直角. 证明: 为直角 为直角三角形 (2)直角三角形 为直角 证明: 为直角 为直角三角形 (3)直角三角形 为直角 证明: 为直角 为直角三角形 6、. 7、. 于是可得 所以. 8、 . 9、证明: 为顶点的四边形是矩形. 10、解:设 则 解得 或. 于是或. 11、解:设与垂直的单位向量 则 解得或. 于是或. 习题2.4 B组(P108) 1、证法一: 证法二:设 . 先证 由得
8、即 而 所以 再证 由得 即 因此 2、. 3、证明:构造向量 . 所以 4、的值只与弦的长有关 与圆的半径无关. 证明:取的中点 连接 则 又 而 所以 5、(1)勾股定理:中 则 证明: . 由 有 于是 (2)菱形中 求证: 证明: . 四边形为菱形 所以 所以 (3)长方形中 求证: 证明:四边形为长方形 所以 所以 . 所以 所以 (4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2)(3)的证明即可. 2.5平面向量应用举例 习题2.5 A组(P113) 1、解:设 则 由得 即 代入直线的方程得. 所以点的轨迹方程为. 2、解:(1)易知 所以. (2)因为 所以 因此三点共线 而且 同
9、理可知: 所以 3、解:(1); (2)在方向上的投影为. 4、解:设 的合力为 与的夹角为 则 ; 与的夹角为150. 习题2.5 B组(P113) 1、解:设在水平方向的速度大小为竖直方向的速度的大小为 则 . 设在时刻时的上升高度为 抛掷距离为 则 所以 最大高度为 最大投掷距离为. 2、解:设与的夹角为 合速度为 与的夹角为 行驶距离为. 则 . . 所以当 即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、(1) 解:设 则. . 将绕点沿顺时针方向旋转到 相当于沿逆时针方向旋转到 于是 所以 解得 (2) 解:设曲线上任一点的坐标为 绕逆时针旋转后 点的坐标为 则 即 又因为 所以 化简得
10、第二章复习参考题A组(P118) 1、(1);(2);(3);(4). 2、(1);(2);(3);(4);(5);(6). 3、 4、略解: 5、(1) ; (2) ;(3). 6、与共线. 证明:因为 所以. 所以与共线. 7、. 8、. 9、. 10、 11、证明: 所以. 12、. 13、 . 14、 第二章复习参考题B组(P119) 1、(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7). 2、证明:先证. . 因为 所以 于是. 再证. 由于 由可得 于是 所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明:先证 又 所以 所以 再证. 由得 即 所以【几何意义为菱形的对角线互相垂直如图所示】 4、 而 所以 5、证明:如图所示 由于 所以 所以 所以 同理可得 所以 同理可得 所以为正三角形. 6、连接. 由对称性可知 是的中位线 . 7、(1)实际前进速度大小为(千米/时) 沿与水流方向成60的方向前进; (2)实际前进速度大小为千米/时 沿与水流方向成的方向前进. 8、解:因为 所以 所以
