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1、第四章 方程 习题详解1.试按函数类别，将代数方程和超越方程作进一步分类，并列出分类表。解：2.方程和在有理数集上是否同解？在实数集上呢？在复数集上呢？答：在有理数集和实数集上同解，在复数集上不同解。3.叛别下列各对方程在实数域上是否同解？为什么？（1）和；解：不同解！的解集为；而不是的解。（2）和；解：不同解！的解为；而不是的解。（3）和；解：同解！两者的解同为。（4）和；解：不同解！的解为，而不是的解。（5）和；解：同解！两者的解同为。（6）和；解：同解！两者的解同为。（7）和；解：不同解！的解为，而不是的解。（8）和；解：同解！两者的解同为。（9）和；解：同解！两者的解同为。（10）和。
2、解：不同解！的解为；而不是的解。4.在实数域上解下列方程：（1）；解：去分母并整理得 ，解之得，经检验，都不是原方程的根，从而原方程无解。（2）；解：去分母并整理得 ，解之得，经检验，不是原方程的根，故原方程的根只有。（3）；解：去分母并整理得 ，即，经检验，是原方程的解。（4）；解：去分母并整理得，解之得，经检验，原方程的解为和。（5）解：令，则方程化为，去分母并整理得 ，解之得，从而有，即，解之得。（6）。解：令，则方程化为，解之得，从而有（1），解之得，；（2），解之得，。经检验，都是原方程的解。5.解下列方程：（1）；解：去分母并整理得 ，解之得，即或，经检验和均为原方程的解。（2）；
3、解：原方程可化为，从而有或，对进行化简得或，从而或，经检验知原方程的解为和。（3）；解： ，经验算，是原方程的根。（4）。解：令，从而原方程可变形为，或，从而有（1），解之得，；（2），解之得，。经验算，知方程的解为，。6.在实数域上解下列方程：（1）；解：，解之得，经验算知原方程的根为。（2）；解：，原方程无解。（3）；解：，或，当时，解之得，；当时，解之得，。经检验，知是增根，而和是原方程的根。（4）。解：，解之得，此为所求。7.解下列方程：（1）；解：，解之得，或，此为所求的解。（2）；解：，解之得，即原方程的解为。（3）；解：，是原方程的解，利用综合除法可将原方程变为，所求解为。（4）
4、解：，是原方程的解，利用综合除法可将原方程变为，所求解为，。8.作五次方程，使其各根分别为方程各根的倍。解：由得代入并化简得，此为所求的五次方程。9.作三次方程，使其各根分别为方程各根的倒数减。解：令，即，代入原方程得，去分母并整理得所求方程为 。10.设的三根为，作一方程使其根分别为，和。解：由已知有，设，从而有，从而 ，故所求方程为。11.设方程的三根为，作一方程使其根分别为，。解：由已知得， 令，则，代入原方程并化简得所求方程为 。12.设多项式能被整除，求和。解：令，展开上式右端后比较两端系数得方程组，解之得，或。13.解下列方程：（1）；解：利用卡当方法求解，得，由，则，从而 ，故根
5、据，知原方程的根为 ， ，。（2）；解：令，即，代入原方程得，利用卡当方法求解得原方程的根为 ，。（3）；解：原方程可化为，解之得，所求解为，。（4）。解：原方程可变形为，解之得，所求的根为，。14. 解下列倒数方程：（1）；解：上式两边同时除以，则，即，解之得，或，解之得，原方程的根为，。（2）；解：原方程可化为，即，即，解之得，或，解之得，从而知原方程的解为。（3）；解：原方程可化为，即，即，解之得，解之得，所求根为。（4）；解：原方程可化为，即，即，即或，解之得所求的解为，。（5）；解：原方程可变为，即，即，即或，解之得所求解为，。（6）。解：原方程可化为，解之得所求的根为，。15.已知
6、，和都是一个四次倒数方程的根，求这个四次方程。解：依题设有，将上式化简即知所求的方程为。16.解方程：（1）；解：原方程可变为，从而知所求方程的解为 。（2）；解：原方程可变为，从而知所求方程的解为 。（3）；解：原方程可变为，解之得，所求解为。（4）。解：原方程可化为，解之得所求解为。17.设是方程的一个根，求证方程的另外两个根是和。证明：由已知有且，从而知互不相等，且，从而知和是方程的另外两个根。18.解下列含有参数的方程：（1）；解：显然，且，原方程可化为，解之得，。 经验算，它们都是原方程的解。（2）；解：显然，原方程化简后可变为。分别讨论如下：若，则原方程有无穷多解，它的解集为：且；
7、若，则原方程只有两个解，它们分别为：；若，则原方程只有两个解，它们分别为：；若，且，即，则原方程有三个解，它们分别为：（3）；解：令，则原方程可化为，整理后得 ，即或把、的表示式代入，得，解之得，或；把、的表示式代入，得，当时，方程的解为；当时，方程的解为。由于原方程的定义域为，从而可知：当，原方程的解集为：；当时，且，原方程的解集为：；当且或时，原方程的解集为：；当且时，原方程的解仅为。（4）；解：当时，方程无解；当时，原方程可化为，即 ， 与原方程联立后相加，得 ，上式两边平方并整理，得 。当时，方程无解，即原方程无解；当且时，方程可变为。 由于，从而分别讨论如下： 当时，方程的解是，经检
8、验知的原方程的解； 当时，方程的解是，经检验知是原方程的解； 当时，方程无实数解，即此时原方程无实数解； 当时，方程的解为，经检验知它不是原方程的解，即此时原方程无解。 综合知当时，是原方程的解；当时，是原方程的解。（5）。解：当时，原方程可化为，解之得，；当时，原方程的解为；当时，原方程的解为。19.求下列方程的整数解：（1）；解：显然，是原方程的一个解，从而知所求的整数解为。（2）；解：显然，是原方程的一个解，从而知所求的整数解为。（3）；解：显然，是原方程的一个解，从而知所求的整数解为。（4）。解：显然，是原方程的一个解，从而知所求的整数解为。20.试将写成两个整数的和的形式，使其中一数
9、为的倍数，另一数为的倍数。解：设这两个整数为，则有，即，显然，是上面这个方程的一个解，从而知所求整数解为。21.解下列方程：（1）；解：，原方程可变为，解之得，当时，有；当时，有原方程的解为。（2）；解：，解之得，。 经检验知是原方程的唯一解。（3）；解：方程的定义域为，从而有，即，即，即，从而有或，当时，有；当时，由于，从而知这个方程实数解。 综合知方程的解为。（4）；解：，解之得，。 经检验，都是方程的解。（5）；解：，知它的定义域为或，根据对数换底公式有，即，解之得，（舍去），。 经检验知是原方程的解。（6）。解：，即或。当时，有，此时方程无解；当时，有，解之得，。从而知原方程的解为。2
10、2.解下列方程：（1）；解：，令，则，即，。（2）；解：，即，从而有，即，此时方程组的解为，这也是原方程的解；或者，即，即即或者，从而，或者，。综合知的方程的解为或。（3）；解：，从而所求为。（4）；解：（5）；解：，解之得，或（舍去），从而，故所求解为。（6）；解：，从而，解之得，此为所求的解。（7）；解：令，则，从而，从而原方程可化为 ，从而所求解为。（8）。解:设,且,且有,从而有,解之得,或.经检验,原方程只有一个根为.23.设方程恒有解，求实数的范围。 解: ,从而,其中.从而知有解的条件是,解之得,所求的范围为.24.解下列方程组：（1）解：，设代入上式，得，解之得，或。当时，有，
11、解之得，；当时，有，解之得，。综合知所求解为，。（2）解：，设，代入上式，得，解之得，（舍去），（舍去），。当时，有，解之得，；当时，有，解之得，。综合知所求解为，。（3）解：，设，代入上式，得，从而有，解之得，或，从而知，。当时，有，解之得，；当时，有，解之得，。 综合知所求解为，。（4）解：，令，代入上式，得 ，解之得，或。当时，有，此时有，从而知这时方程组无解；当时，有，解之得，。综合知所求解为。（5）解：，解之得，此为所求的解。（6）解：设，代入上式，得，设，代入上式，得，解之得，或。进而得，或。从而解之得，。（7）（8）（9）（10）25.解下列方程组：（1）解：设，则有，解之得，和
12、，当时，有解之得，；当时，有解之得，。 综合知所求解为和。（2）解：设，则有，解之得，或。当时，有，即；当时，有，即。（3）解：设，则原方程可变为，解之得，；，解之得，（与矛盾，舍去）。当时，有，即，从而，即方程组的解为。（4）解：原方程组可化为，即，解之得，此即为所求的解。26. 解下列方程组：（1）解：设，从而原方程可变为，即，解之得，或。当时，即，解之得，；当时，即，解之得，。 综合知所求解为和。（2）解：，解之得，和，此即为所求解。（3）解：设，从而原方程组可变为解得，或。当时，即，即，从而有解之得，；当时，即，即，从而有解之得，。 综合知所求解为和。（4）解：设，则原方程组可变为解之得，或。当时，原方程的解为；
