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1、第二节换元积分法教学目的：1、掌握第一类换元法求不定积分的方法。2、掌握第二类换元法求不定积分的方法。教学重点：1、第一类换元法求不定积分的方法。2、第二类换元法求不定积分的方法。教学难点：1、第一类换元法求不定积分的方法教学内容：一、第一类换元法1、问题提出问题：如何求J2cos 2xdx ？分析：2 cos 2x = cos 2x - (2x) = (sin 2x),. J 2cos2xdx = sin 2x + C.解法：令 u = 2x,由于 J cos udu = sin u + C,而 du = 2dx, cosu = cos2x, :.J 2 cos 2xdx = sin 2x
2、+ C.2、第一类换元法定理1：设f (u)具有原函数，u =9 (x)可导，则有换元公式J f 9 (x)9 (x)dx = J f (u )du .u=9(x)dddu证明： 一J f (u)du = 一 J f (u)du - 一 = f (u)9 (x) = f 9(x)9 (x), dxdudx.J f 9 (x)9 (x )dx = J f (u )du .u =9 ( x )注：1、应用定理1的关键在于将被积表达式表示成f聊(x)帅(x)dx的形式，即：J g (x)dx =J f里(x)中(x)dx =J f(u)duu=中(x)2、若 F(u) = f (u )，则J g (
3、x )dx =J f 9 (x)9 (x)dx = J f (u )du = F (u) + c = F (9 (x) + cu=9(x)例 1 求 J 2cos 2xdx .解 原式=f cos 2xd(2x) = f cosu du = sin u + C = sin 2x + C例2求f.3 + 2 xIf d (3 + 2 x) _1 du _ 1 1 C 1 lC解 原式一 2 J 3 + 2x 一 2Ju 一 21nu+ C 一 21nl3+2xl+ C 例 3 J xex2 dx 一一一 = f ex2 dx2 一 上 J eudu = eu + C = ex2 + C.du -
4、 2 xdx 2222Jx% 1 -x2dx 一一一一 udu = - ? + C = - (1 -x2)3 + Cdu =-2 xdx 22332例 5 J tan xdx = J inxdx = J d COs x = In I cos x I+C .cosx cosx例6 J-dx - a 2 + x 2例7 J-dx -x 2 a 21J-d( x)一 a 1+(x)2 a1, x .八 arctan + C aa1 d (三) a 丈 1 adu=dx)du u +112aIni u + 1I+C=In2a+ C - In2ax1 ax 1+1 a1 , x aIn2a x + a+
5、C例8见教材例9例 9 J dx - J d 1n x -d (u -1)1d (u +1)1一J一 J一 In I u 一 112a u 一 12a u +12aJ d (1 + 21n x) - i1nI1 + 21n x I+C x (1 + 21n x)1 + 21n x 21 + 21n x 2例 10 J sec 萩-J堕=J 些-J d sin x =-Imsinx1 + C cos x cos2 xsin2 x 一 12sin x +11(1 + sin x)一一1n221 sin 2 x+ C = 1n1 + sin xcos x+ C = 1n|sec x + tan x|
6、 + C原式=Jsecx(secxanx)dx =Jd(tanx + secx) 一血国0x + secx| + C sec x + tan xtan x + sec x见教材P200 - P202注凑微法是计算不定积分时使用频率最高的一种技巧，使用它的关键是熟练掌握函数的微分形式，常用的微分形式:1、dx = 1 d (ax + b)， O3、e x dx = de x，5、cosxdx = d sinx,7、sec2 xdx=d tanx，9、dx = 2d 7 x ,v x2、xadx =dxa+1 a +14、 xdx = d Inx，6、sinxdx = -dcosx, 8、csc2
7、xdx = -d cotx，10、dxv1 - x 2=d arcsin x11、一1 dx = d arctan x,1 + x 2还有一些常用，但难度较大的，如12、 (cosx土 sinx)dx = d(sin x + cosx)，13、(1 + Inx)dx = d(xInx)，14、ex (1 + x)dx = d(xex)，15 - xdx = dp1 土 x2，V1 土 x 2二、第二类换元积分法1、问题提出问题：如何求bv 1 -x2dx ？兀兀解法：如果令 x = sin t, te- , dx = cos tdt 那么 2 2L1 - x 2 dx = J cos2 tdt
8、 = t + sin 2t + C2411.八 1.1:八=t + sin t cos t + C = arcsin x + x、1 - x 2 + C22222、第二类换元法定理2：设x =w (t)是单调的、可导的函数，并且w(t)。0，又设f V(t)V(t)具有原函数，则有换元公式J f (x)dx =J f V (t )W，(t )dt 1 .t=V-1 x)其中V -1(x)是x =V (t)的反函数.常见的代换：(1) 三角函数代换(2) 倒代换(3) 简单无理函数代换(幕函数代换)三角函数代换：例 1 求 J、.a2 - x2 dx， a 0.分析：令x = a sin t或x
9、 = a cost，利用恒等式sin21 + cos21 = 1，就可以去掉被积表达式中的根号.兀 一一 解：令 x = a sin t, t e (0,)，贝。dx = a cos tdt , .a 2 x 2 = a cos t , 21 + cos2t1,1.a2 -x2dx-J a2 cos2 tdt-a2Jdt-a2( t + sin2t) + C224x ,： 一r-4 a2 - x2 x因为sint = , cost = %1 -sin21 = , t = arcsin ，所以f . / _1 x , 1,厂a 2 x2 dx - a 2 arcsin + x a 2 x2 +
10、C.2 a 2例 2 求 J dx , a 0.x 2 + a 2分析： 令x = a t a n或x = a cot t , 利用恒等式t a nt +1 = s ext或cot2 t + 1 = csc2 t，就可以去掉被积表达式中的根号.v x2 + a 2 = a sec t，解：令 x = a tant， t e(0,)，贝。dx =a sec2 tdt，2sec tdt = ln|sec t + tan t| + Cj dx = j a sec 2 tdt = J 、: x2 + a 2 a sec t因为 tant = x， sect = 0.yx2-a2分析： 令 x = a
11、sect或 x = a csct ,利 用 恒等式tan21 = sec21 -1或cot2 t = csc2 t - 1，就可以去掉被积表达式中的根号.解：令 x = a sect，t e (0,)，贝。dx = a sect tan tdt，2vx 2 - a 2 = a tan t，dx%x 2 a 2sec tdt = ln|sec t + tan t| + C因为sect = x， tant = *sec2t-1 =吃，所以aaj dx _x 2 a 2In J x 2 a 2 + xln| a + C=C = C1 + In a .一般规律：当被积函数中含有 va2 一 x2 ,可
12、令 x = a sin t ；a2 + x2 ,可令 x = a tan t ； x2 一 a2 , 可令 x = a sect.例4见教材P205例25倒代换例5见教材P206例26例6见教材P206例27简单无理函数代换（幂函数代换）例 7 求j-dx.1 + * x解此积分的困难是分母含有根式，能否通过变换把根式去掉?t = *x，则 x = 12，dx = 2tdt，于是，如果设j 厂 dx = j = dt _ 2jEx 1 +1 Jdt=2 j(1二)dt = 2dt-1jr d (t +1) t +1t +1 、7=21 2ln|t| + C = 2& 2ln(侦=+1) + C
13、 .例8求dx解：令 x = 16，t 0，则 dx = 6t5dtjL_=dx = j 竺dt =6 j 12 dt(1 + 3 x )、 x(1 + 12)t 3t2 + 1=6 (1 arctan 1) + C =6 (6 x arctan 6 x) + C.例9见教材P207例28例10见教材P207例30基本积分表(续)(16) j tan xdx = ln I cos x I+C ；(17)(18)(19)(20)(21)(22)JQzdx=arcsin x+CJ cot xdx = In I sin x I+C ;J sec xdx = In I sec x + tan x I+C ；J csc xdx = In I csc x - cot x I+C ;J 一,1Jdx = 一 Inx2 - a 2
