第二节换元积分法教学目的：1、 掌握第一类换元法求不定积分的方法2、 掌握第二类换元法求不定积分的方法教学重点：1、 第一类换元法求不定积分的方法2、 第二类换元法求不定积分的方法教学难点：1、第一类换元法求不定积分的方法教学内容：一、第一类换元法1、问题提出问题：如何求J2cos 2xdx ？分析： 2 cos 2x = cos 2x - (2x) = (sin 2x),... J 2cos2xdx = sin 2x + C.解法：令 u = 2x,由于 J cos udu = sin u + C,而 du = 2dx, cosu = cos2x, :.J 2 cos 2xdx = sin 2x + C.2、第一类换元法定理1：设f (u)具有原函数，u =9 (x)可导，则有换元公式J f [9 (x)]9' (x)dx =[ J f (u )du ] .u=9(x)d d du证明： 一[J f (u)du] = 一 J f (u)du - 一 = f (u)9 (x) = f [9(x)]9 (x), dx du dx.J f [9 (x)]9' (x )dx =[ J f (u )du ] .u =9 ( x )注：1、应用定理1的关键在于将被积表达式表示成f聊(x)帅'(x)dx的形式，即：J g (x)dx =J f[里(x)]中'(x)dx =[J f(u)du]u=中(x)2、若 F'(u) = f (u )，则J g (x )dx =J f [9 (x)]9' (x)dx =[ J f (u )du ] = F (u) + c = F (9 (x)) + cu=9(x)例 1 求 J 2cos 2xdx .解 原式=f cos 2xd(2x) = f cosu du = sin u + C = sin 2x + C例2求f^^.3 + 2 xIf d (3 + 2 x) _1 du _ 1 1 C — 1 l C解 原式一 2 J 3 + 2x 一 2Ju 一 21n\u\+ C 一 21nl3+2xl+ C 例 3 J xex2 dx 一一一 = — f ex2 dx2 一 上 J eudu = — eu + C = — ex2 + C.du - 2 xdx 2 2 2 2Jx% 1 -x2dx 一一一一~ — \^udu = - — ? + C = -— (1 -x2)3 + Cdu =-2 xdx 2 23 3'2例 5 J tan xdx = J ^inxdx = J d COs x = In I cos x I+C .cosx cosx例6 J——-——dx - a 2 + x 2例7 J——-——dx -x 2 — a 21J^-d( x)一 a 1+(x)2 a1 , x .八— arctan — + C aa1 d (三) a '丈 1 adu=dx )du u +112aIni u + 1I+C=—In2a+ C - — In2ax—1 ax 1—+1 a1 , x — a——In 2a x + a+C例8见教材例9例 9 J dx - J d 1n x - d (u -1) 1 d (u +1) 1 [一——J 一 ——J 一 ——In I u 一 112a u 一 1 2a u +1 2aJ d (1 + 21n x) - i1nI1 + 21n x I+C x (1 + 21n x) 1 + 21n x 2 1 + 21n x 2例 10 J sec 萩-J堕=J 些-—J d sin x =-Imsinx—1 + C cos x cos2 x sin2 x 一 1 2 sin x +11 (1 + sin x)一一1n221 — sin 2 x+ C = 1n1 + sin xcos x+ C = 1n|sec x + tan x| + C原式=Jsecx(secx"anx)dx =Jd(tanx + secx) 一血国0x + secx| + C sec x + tan x tan x + sec x见教材P200 - P202注凑微法是计算不定积分时使用频率最高的一种技巧，使用它的关键是熟练掌握函数的微分形式，常用的微分形式:1、dx = 1 d (ax + b)， O^3、e x dx = de x，5、cosxdx = d sinx,7、sec2 xdx=d tanx，9、dx = 2d 7 x ,■v x2、xadx =—dxa+1 a +14、 xdx = d Inx，6、sinxdx = -dcosx, 8、csc2xdx = -d cotx，10、dxv'1 - x 2=d arcsin x11、 一1— dx = d arctan x,1 + x 2还有一些常用，但难度较大的，如12、 (cosx土 sinx)dx = d(sin x + cosx)， 13、 (1 + Inx)dx = d(xInx)，14、ex (1 + x)dx = d(xex)， 15> - xdx = dp1 土 x2，V'1 土 x 2二、第二类换元积分法1、问题提出问题：如何求bv 1 -x2dx ？兀兀解法：如果令 x = sin t, te[- — ,—], dx = cos tdt 那么 2 2L1 - x 2 dx = J cos2 tdt = — t + — sin 2t + C2 411. 八 1 . 1 ■: 八=—t + — sin t cos t + C = — arcsin x + — x、1 - x 2 + C2 2 2 22、第二类换元法定理2：设x =w (t)是单调的、可导的函数，并且w'(t)。
0，又设f [V(t)]V'(t)具有原函数，则有换元公式J f (x)dx =[J f [V (t )W，(t )dt ] 1 .t=V-1 x)其中V -1(x)是x =V (t)的反函数.常见的代换：(1) 三角函数代换(2) 倒代换(3) 简单无理函数代换(幕函数代换)三角函数代换：例 1 求 J、.'a2 - x2 dx， a >0.分析：令x = a sin t或x = a cost，利用恒等式sin21 + cos21 = 1，就可以去掉被积表达式中的根号.兀 ―一 一 解：令 x = a sin t, t e (0,—)，贝dx = a cos tdt , \.a 2 — x 2 = a cos t , 21 + cos2t 1,1.a2 -x2dx-J a2 cos2 tdt-a2J —~~dt-a2( — t + sin2t) + C2 2 4x , ： 一r—- 4 a2 - x2 • x因为sint = — , cost = %1 -sin21 = , t = arcsin —，所以f .■― / _1 • x , 1 — ,厂a 2 — x2 dx - a 2 arcsin — + x ^a 2 — x2 + C.2 a 2例 2 求 J dx , a >0.■
dx =a sec2 tdt，2sec tdt = ln|sec t + tan t| + Cj dx = j a sec 2 tdt = J •、: x2 + a 2 a sec t因为 tant = x， sect = <1 + tan21 = ' x' + a'，所以a adx■vx 2 + a 2=In Jx 2 + a 2 + x-ln|a| + C = Inv'x 2 + a 2 + x + C，其中 C = q - In a例 3 求 J . dx ，a >0.yx2-a2分析： 令 x = a sect或 x = a csct ,利 用 恒等式tan21 = sec21 -1或cot2 t = csc2 t - 1，就可以去掉被积表达式中的根号.解：令 x = a sect，t e (0,—)，贝dx = a sect tan tdt，2vx 2 - a 2 = a tan t，dx%x 2 — a 2sec tdt = ln|sec t + tan t| + C因为sect = x， tant = *'sec2t-1 = ~吃，所以a aj dx _■\x 2 — a 2In J x 2 — a 2 + x—ln| a\ + C =C = C1 + In a .一般规律：当被积函数中含有① v'a2 一 x2 ,可令 x = a sin t ；②a2 + x2 ,可令 x = a tan t ；③ \x2 一 a2 , 可令 x = a sect.例4见教材P205例25倒代换例5见教材P206例26例6见教材P206例27简单无理函数代换（幂函数代换）例 7 求j-^dx.1 + * x解此积分的困难是分母含有根式，能否通过变换把根式去掉?t = *x，则 x = 12，dx = 2tdt，于是，如果设j 厂^ dx = j = dt _ 2jEx 1 +1 Jdt=2 j(1—二)dt = 2』dt-1j」r d (t +1)' t +1 t +1 、 7=21 — 2ln|t| + C = 2& — 2ln(侦=+1) + C .例8求』dx解：令 x = 16，t > 0，则 dx = 6t5dtj L_=dx = j —竺——dt =6 j 12 dt(1 + 3 x )、' x (1 + 12)t 3 t2 + 1=6 (1 — arctan 1) + C =6 (6 x — arctan 6 x) + C.例9见教材P207例28例10见教材P207例30基本积分表(续)(16) j tan xdx = — ln I cos x I+C ；(17)(18)(19)(20)(21)(22)JQzdx=arcsin x+CJ cot xdx = In I sin x I+C ;J sec xdx = In I sec x + tan x I+C ；J csc xdx = In I csc x - cot x I+C ;J 一 , 1J dx = 一 Inx2 - a 2。