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1、3)2017年边防消防警卫海警招收士兵学员文化统考数学模拟试卷（ 、单项选择题（共 12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合 A=x|x1 , B=x|x冬2,贝U AU B =A. x|x1 B. x|xE1C. xx0, 0,x：=R）的一部分图象如图所示，则A. A=4B. =1C. B=2d. = n（C）C. 1,+ ：)D. 3,+闵） 侧棱长为.15，则这个三棱锥的体积是（C）A.7B. 2C. 9D.-97. 设 a=25, b =2015, c =sin1830，则 a, b, c 的大小关系是A. abcB. acbC. bca8. 在等差比数列an中，若S4=1,
2、S8=4,贝U a17+a18+a19+a20的值为A.9B. 12C.16D.17(D)D. bac(A)9.若焦点在x轴上的椭圆一-=1的离心率为彳，贝V m的值为(C)12A.-B.-2310.若（1+x）n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，贝y n等于A. 6B.8C.10D. 12C. 1(B)11.设双曲线一-一=1（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2+1相切，则双曲线的离心率为A. 3B. 5C. 2(B)D. 612.设 Sn=1+2+3+ +n，n N*，则函数f(n)=+32的最大值为(D)、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13. 正方体 ABCD A1B
3、1C1D1中，AB1和BC1所成的角为 _ 60o_冗冗 . 14. 函数y=cosGx) cos2(x-1)的最小正周期是 2115. 若实数x与y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值是 8_.16. 函数f(x)=(a_2) x2 2(2) x_4的定义域为R,值域为(-：,0,则满足条件的实数组 成的集合是_二_.17. 某总队七名消防战士排成一排，要求甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法有_960_种.范围是(一円一1).三、解答题(共5小题，共60分)19. (10分)已知关于 x的一元二次方程 mx2：汀m-； x+(m=0的两根为tan、tan：. 求tan
4、 (:+ F)的最小值.3 -2m m 3-mtan;汁tan解：由题意，得错误！ ?tan( )=1an: tan 二 _m-2=2_ m3 93= 2一4 = _4.P ABCD的底面ABCD是正方形，点 E是棱PC的中点,9?当 m=4时，tan(: + )|min=20. (12分)如图，四棱锥平面ABE与棱PD交于点F.(1) 求证：AB/ EF ;(2) 若PA=AD，且平面 FAD_平面 ABCD. 求证：AF_平面PCD.证明：(1)?底面ABCD是正方形，? AB / DC.又 DC 二平面 PCD , AB 二平面? AB / 平面 PCD ,又 AB 平面 ABEF ,
5、平面ABEF A平面PCD=EF ,? AB / EF.(2)由(1)，易得：AB / EF , AB / DC.PD的中点,? EF / DC.又点E是棱PC的中点，？点F是棱? PF=FD ,又？PA=AD , ?AF_PD.又?平面PAD_平面 ABAB.且 平面PAD Q平面 ABCD =AD , DC 平面 ABCD , DC山D? DC _平面PAD,又AF 平面PAD ?AF_DC,且 PD PDC=D,? AF_平面 PCD.21. (12 分)已知函数 f(x) =x+2)x3.2 _1 2(1)求函数f(x)的定义域并讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)0.(1)
6、解：由21丸 得2立= x和.？f(x)的定义域是：(0)U(0,+为.1 丄 1 32x+13又 f(x) =Lx +2)x =x 补 X .2 T 2，2(2 -1)2+132x+13?f(-x)=-x(-X) = x x =f(x), ? f(x)是偶函数.2(2 T)2(2 -1)(2)证明:,定义域是:?f(x) =4(円0) U (0,+ 沖?分类:当 x0 时，2x20, 2x_l0, (r+x30,即 f(x)0;2 _1 2当x0,由得f(-x)0,? f(x)是偶函数.? f(x) =f(-x)0,即 f(x)0.综述：f(x)0.2222. (12 分)已知圆 C： (x
7、_1) +(y_2) =25,直线 I: (2m+1) x+( m+1) y - m =0.(1) 求证：直线I过定点；(2) 判断该定点与圆 C的位置关系；(3) 当m为何值时，直线I被圆C截得的弦最长.(1)证明：将直线I的方程按照 m整理为：(2x+y;) m+( x+yj.)=0, -m R. 2x+y7= 0,x = 3,x+y 2 = 0.|y= 1.?直线I过定点P(3,1).解：将点P(3,1)的坐标代入圆 C的方程(3-1) +(1 -2) 25, ?点P在圆C内. 1解：当直线I过圆心C(1,2)时，-？m-匸.=m=-31?当m=_；时，直线I被圆C截得的弦最长.223.
8、 (14分)已知等差数列an的首项ai=2，公差d=0, a2 =2 a4.(1)求d的值；证明：对于任意的 nN*, an, a2n,a4n成等比数列；设数列an的前n项和为Sn , bn=- ( n N )，求数列 bn的前n项和Tn.解：在等差数列an中，由题意a1 = 2,2 2d2+d) a=2(2+3d戸 d -2d=0.d和，?解得a1=2,d=2.d=2n N*a4n_2 4n = =2a2n 2 2nSn=(2+2n)n2=(1 + n)n,n N*(2)证明：由(1)知：an =2n ,a2n 2 2n? =2 an 2n ，?对于任意的nN*, an, a2n,a4n成等比数列;由知：an =2n , n N*1 _ 1 1n=(1+n)n = n 一 n+1,11111 1 11n+1Tn=br+b1+b计. + bn=(1 _2)+(2 _3)+( 3 -4)+( n _ n+1)=1 -?Tn=n+l，n N*.
