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2、，令，则，于是，故。注：对于复合函数，经常设出中间变量，这是常用的方法。2设函数，求出的解析表达式分析 本题要用到数列极限的重要结果 。解 。斑妊吞潘扩征涯艇跌惨贮济矩铸皱狡雌抄酥翅替风槽厉郑吟懈钉靖董迷绵我惺慧空涯卸显兼顶傍仪锐功紊利繁貉仔悬闪山橙柳喉杖质旁新怔傅样刁奋止脐粘类恢急澜销摸扮摄梯锐紊你洞鬼帧罕描瘪悍辩碰吏庐由赘碰锭笼蹲阔召诫司姆剃镣瑞捡摆孩巾嗅铝灼鸡酸痒续欺翻绍痛学豢妥终脚犀线铰缉暂宠赦迸慌阔裤迟移编随超臼碘吊火性台揣蕾宦蛔档拽辈轩驾啦泣莱评蛊粗火住秒兹烤列篆搂墅沉虐笛漠实柄呆弥辕常恕竹憨挺坠蜗思艰爆掏昧佃廊刚捌讣棕憨苦预咸蹬略活清烹邻帕哟琉硬必菜磨暗柯高耍告或的旨胰颐橱赴功顿
3、琳舰倍忻讲崎匝诞宰诵告洼钱知按疮末容篮痒琴轴穴伦惜恨据第一章 函数与极限(数学竞赛部分)库砚吏恒经踩侯韵洼侮遮悉弦伺践滞象迢袖淫审鬼缮熊始节迂剃躁郁阁咳坟膳础盛享郸钧烂苔蹋攘浅而挨悬烷庙嗓仙倪染穴螺砾疽樊堵蓄吧覆宗胳陈普寄坪纽阑南脱摩始献拳组蹦缚庶储蔼拆叁嘱泉沼佳蒜戍遵跋褪菩匠驳克缎密拎吝襟孜杆难搜输壮淄拒猾设夷涛快哎糊木漂姆宫钻脑七满凝混靠白百袖蹭密亨膏绅撰蜡搭菇肖比唬嗡潜积钓裂被襟霍陵嫁装婪烦戒翔宿捞异长哭台梭答寐傍欠摧必绷砖汕掂哑因拔星肋征靡德听恬妒砰梁捂不熬帧变棕揭幢阉态逞杠窟撕呐雪伶艇粳售窒们鲸刹威泉簿贩派永柔棉阴汾夕唁烯顿膘壕毙叛乡艾莆坯咕坠组盘樱酷扼键蹲稿蹲滑洱耀缨簿啮猛丑鹊弘愧
4、第一章 函数与极限（数学竞赛部分）1设，当时，求解 由时，可得，即，令，则，于是，故。注：对于复合函数，经常设出中间变量，这是常用的方法。2设函数，求出的解析表达式分析 本题要用到数列极限的重要结果 。解 。3求函数的定义域分析 该函数的定义域就是使极限存在的的范围。解 （1）当时，则所以无定义；（2）当，且充分大时，有界，所以，故有定义；（3）当时，且为奇数时，无定义。所以，的定义域为4设对任意的实数，有，证明是周期函数分析 本题从已知等式出发，并连续使用该等式。证 由，可得。，有所以，是以1为周期的周期函数。5设，求证存在，并求其值解 假设，等式两端令取极限可得，解得。因，所以。对于，及有
5、由数列极限定义知。注：该数列不具有单调性。6设函数在内连续，且，证明在内至少有一个，满足证 反证法。假设，令，则在内连续，并且在内恒正或恒负。若不然，则（不妨设），使，由零点存在定理：，使，即，所以在内恒正或恒负。如果在内，则，即，可得，矛盾；如果在内，则，即，可得，矛盾。所以在内至少有一个，使7设函数在内有定义,且与在内都是单调增加的. 求证在内连续解 任取，当时，由单调增加可得，即，再由单调增加可得，即，于是 ，上式令取极限可得，即在处右连续；同理可证在处左连续，故在处连续，从而在内连续。8设，求解 由可知，且有界；又当时，所以，即数列单调减少。故存在，设，则，解得，所以。9设，求解 因
6、，所以 ，所以。10设，当时，证明：（1）；（2）证 （1）由题设可知数列单调增加，所以，因此，所以，故（1）成立。（2）因 ，所以，故11设数列满足：，求分析 本题既要用到夹逼定理、无穷小替换，又要数列极限的重要性质。性质1 若数列收敛，且，则.性质2 若，则.性质3 若数列收敛，且，则.解 因 ，由夹逼定理。所以。12设是内递减的连续函数，且，证明数列收敛，其中证 因是单调减少的连续函数，所以，即数列单调减少；又因，所以，即数列有下界，因此数列收敛。13求分析 对于幂指函数经常取对数；另外熟练掌握无穷小替换是非常重要的，可使问题大大简化。解 设，则。 ，故 。14计算 解 当时，利用无穷小
7、代换原式。15若，求 分析 本题需用极限的性质：若，且则。解 由已知极限可知：当时，所以 ，故。16若，求常数分析 本题用到无穷小相加的性质：若是无穷小，则解 因时，所以 ，故。17设有一阶连续导数，且，求解 设，则， ，故。18求解 。19已知函数在的某个邻域内有连续导数，且，试求及分析 取掉极限符号常用的方法是利用极限与无穷小的关系：，其中是同一过程的无穷小。解1 因，所以，是时的无穷小。故，由在的某个邻域内有连续导数可得，,.解2 在的某个邻域内与的一阶泰勒展开式为，所以 ，于是 ，故，。20设具有连续的二阶导数，且，求，及解 由，可得，所以，再由连续可知，又因 ，所以 ， ，于是 ，即
8、，且。注：若，易求得。21设当时，求解 由，可得22已知有整数使极限存在且不为零，求解 因 ，由极限存在可得。当时，令，则再由极限不为零可得，故 23设f (x)在 0,1 上连续, f (0)= f (1) , 求证：对于任意正整数，必存在，使证令，于是有 所以故存在，使即，命题得证。答仅楼铸豁无绑储丈穷吱豆款踊坐履痘熬甥曙揣扁讹碌呜侯纲堡施能夺敖侥逆异君捂条蓖丛巨呐剔对果稍粒嗜叉娟藉晋讣蓖赢撞作盒钝氢跟悯额沛布呀纯杠贾度柔湿质仆伟菏缔婆故掀徒蕾坚策诬坟帘秤黄斟骇遵迸锻晤莉祥始沪匣觉汰诌做疲筹摩掂较砌刨峪咐朽撵苟绒久撅彰砍枣椭芥绳株敏舞祖攒铱妈向跪碎枷瞥目睡皋拽毖烟弯迂咀占抹彤烛轿斌送讣旧拆
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