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1、1(定义新)设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C. D.2(交汇新)已知函数f(x)，其导函数记为f(x)，则f(2 012)f(2 012)f(2 012)f(2 012)_.3(背景新)设f1(x)cos x，定义fn1(x)为fn(x)的导数，即fn1(x)fn(x)，nN*.若ABC的内角A满足f1(A)f2(A)f2 013(A)0，则sin A的值是_4(交汇新)已知函数f(x)在
2、x0，x处存在极值(1)求实数a，b的值；(2)函数yf(x)的图象上存在两点A，B使得AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；(3)当ce时，讨论关于x的方程f(x)kx(kR)的实根个数历炼1解析：设g(x)f(x)x，依题意，存在x1,4，使g(x)f(x)xax22xa0.当x1时，g(1)0；当x1时，由ax22xa0得a.记h(x)(1x4)，则由h(x)0得x2或x(舍去)当x(1,2)时，h(x)0；当x(2,4)时，h(x)0，即函数h(x)在(1,2)上是增函数，在(2,4)上是减函数，因此当x2时，h(x)取得最大值，最大
3、值是h(2)，故满足题意的实数a的取值范围是，故选D.答案：D2解析：由已知得f(x)1，则f(x).令g(x)f(x)1，显然g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，所以f(2 012)f(2 012)0，f(2 012)f(2 012)g(2 012)1g(2 012)12，所以f(2 012)f(2 012)f(2 012)f(2 012)2.答案：23解析：f1(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，f5(x)f4(x)cos x，fn(x)fn1(x)fn2(x)fn3(x)0，f1(A)f2(A)f2 013(A
4、)f2 013(A)f1(A)cos A0.又A为ABC的内角，sin A1.答案：14解：(1)当x1时，f(x)3x22axb.因为函数f(x)在x0，x处存在极值，所以解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)根据条件知A，B的横坐标互为相反数，不妨设A(t，t3t2)，B(t，f(t)(t0)若t1，则f(t)t3t2.由AOB是直角得0，即t2(t3t2)(t3t2)0，即t4t210，此时无解若t1，则f(t)c(et11)因为AB的中点在y轴上，且AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t1.同理0，即t2(t3t2)c(et11)0，c.因为函数y(t1)(et11)在t1上的值域是(0，)，所以实数c的取值范围是(0，)(3)由方程f(x)kx，知kx因为0一定是方程的根，所以仅就x0时进行研究：方程等价于k构造函数g(x)对于x1且x0部分，函数g(x)x2x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x时取得最大值，其值域是(，0)；对于x1部分，函数g(x)，由g(x)0，知函数g(x)在(1，)上单调递增所以，当k或k0时，方程f(x)kx有一个实根；当k时，方程f(x)kx有两个实根；当0k时，方程f(x)kx有三个实根.
