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1、第七章：微分方程一、微分方程的相关概念1 .微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2 .微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解3 .特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中二、微分方程的常见类型及其解法1 .可分离变量的微分方程及其解法(1) .方程的形式：g(y)dy = f (x)dx .(2) .方程的解法：分离变量法(3) .求解步骤 .
2、分离变量，将方程写成 g(y)dy = f (x)dx的形式； .两端积分：Jg(y)dy = f f (x)dx ,得隐式通解G(y)=F(x)+C； .将隐函数显化.(2) 次方程及其解法(1).方程的形式:包二Tdx x#(3) .方程的解法：变量替换法(4) .求解步骤.引进新变量 u =?,有y =ux及dy = u +xdu ; xdx dx.代入原方程得:u +xdu-=邛(u)；dx.分离变量后求解，即解方程du(u) -udx一;x.变量还原，即再用 工代替u.x3. 一阶线性微分方程及其解法(1) .方程的形式： 或+P(x)y =Q(x).dx一阶齐次线性微分方程 :或
3、P(x)y =0.dx一阶非齐次线性微分方程：dy P(x)y =Q(x) =0.dx(2) . 一阶齐次线性微分方程dy+P(x)y=0的解法：分离变量法.dx通解为 y =CeF(x)dx,( C w R).(公式)(3) . 一阶非齐次线性微分方程 dy+P(x)y =Q(x) #0的解法：常数变易法.dx对方程dy +P(x)y =Q(x),设y =u(x)eP(x)dx为其通解，其中u(x)为未知函数， dx从而有 dy =u(x)e u(x)P(x)e-P(x)dx, dx代入原方程有U(x)eTP(x)dxu(x)P(x)e-f(x)dx +P(x)u(x)e?(x)dx=Q(x
4、),-P(x)dx整理得 u(x)=Q(x)e，两端积分得 u(x) = jQ(x)e P(x)dxdx +C ,再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解y =e - P(x)dx( Q(x)e P(x)dxdx C);Ce-P(x)dx e-P(x)dx Q(x)e P(x)dxdx,(公式)即非齐次线性方程通解=齐次线性方程通解+非齐次线性方程特解.第八章：空间解析几何与向量代数、向量 a =（xa，ya，Za）,b = （xb，yb，Zb）,c =（xc，yc，Zc）1 .向量 a =（xa,ya,Za）与 b =（xb，yb，Zb）的数量积：a，b = ab cos邛=xa
5、xb +xbYb +ZaZb；i j k _ 2 .向量 a =（xa,ya,Za）与b =（xb,yb,Zb）的向量积：a X b = xa Va Za .xb Vb Zba Mb = a|b sin中的几何意义为以a,b为邻边的平行四边形的面积.3 .向量r = (x, y, z)的方向余弦:xcos：=222x y - zcos I ：一.xy2 z2coscos2u +cos2 B +cos2 丁 =1 ； sin2a +sin2 B +sin2 / = 2.4 .向量 a =(xa，ya，Za)与 b =(xb，yb，Zb)垂直的判定:a _ b ：= a b = 0= 凡凡xbyb
6、ZaZb = 0.5 .向量 anaayaZa)与 b = (xb，Yb，Zb)平行的判定:XaXbZaa b ：= a b = 0 = a = kb, k = 0 ：二二二二 k . Xby Zb6 .三向量共面的判定：ka + mb+nc=0= a,b,c共面.7 .向量 a=(Xa,ya,Za)在 b = (Xb, yb,Zb)上的投影：Pr jab心*_2a . x2 ya z2二、平面1 .过点P(x0,y0,z0),以n=(A, B,C)为法向量的平面的点法式方程：A(x -X0) B(y - y0) C(z -)=0.2 .以向量n = (A, B,C)为法向量的平面的一般式方程
7、：Ax + By+Cz + D =0.-|Ax1 + By1 +cz1 + D3 .点 M (xi , y1，z1)到平面 Ax + By +Cz + D =0 的距离 d = .A2 B2 C24 .平面n1 : Ax+B1y+C1z+D1 =0与口2 : A2x + B2y + C2z + D2 =0平行的判定：_AiBiCi Di-J 1 /.J 2 仁 n1 /n2A2B2C2 D25.平面n1 : Ax+B1y+C1z+D1 =0与口2 : A2x + B2y + C2z + D2 =0垂直的判定：3.二 2 = n1 A1A2 B1B2 C1C2 =0.6.平面n1 : Ax+B1
8、y+C1z+D1 =0与口2 : A2x + B2y+ C2z + D2 =0的夹角：口|AA2 +B1B2 +C1C2cos = t 222122 ，.A12 B： C12 , a2 B； C；三、直线1.过点P(x0,y0,z0),以s = (m, n, p)为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：x -X0 _ y - y0 _ z - z0m n px - X0 = tm2 .过点P(x0, y0,z0),以s = (m,n, p)为方向向量的直线的参数式方程：yy0=tn.z-z0 = tp+ “Aix + Biy+C1z + Di =0、曰，-3 .直线的一般式方程：.方向向
9、重为s = n1Mn2.Ax + B2 y +C；z + D2 =04 .直线方程之间的转化：i)点向式修参数式ii) 一般式t点向式第一步：找点第二步：找方向向量 s = ni n25.直线L1 ：X -X1y yiL2 :X - X2y - y2z-z2平行的判定:6.直线Li：7.直线Li：8.直线9.直线m1niPim2n2P2Li / L2 匕S / s2miniPi-ximix -ximiL:=lL：Xi0.直线 L ： x x0 ly-yiz -ZiniPiy-yi z - ziniPicos 丁y -yoy - yom2n2P2, x - x2与 L2:2y 72m2n2P2_
10、 S2 = mim2 nin2r p2 = 0.与 L2：X=jm2n2mimi2nin2Pi P2z - z22的夹角:P2,m；ni2Pi2mfn2P2二与平面n : Ax + By +Cz + D = 0垂直的判定:ABCz -ZoL/二二与平面口 ： Ax + By +Cz + D = 0平行的判定:S _ N = Al Bm Cn =0.匕血=2二亘与平面口 ： Ax +By +Cz +D =0的夹角:Am Bn CpA2 B2 C2 , m2n2 P2n.点P(%,y0，z0)到直线Ax + By+Ciz + Di：0 的距离: A2x + B2y+C2z + D2 =0四、曲线、
11、曲面i. yoz平面上的曲线C :f (y, z) = 0绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为2.空间曲线C :PM msr=i,其中M是直线上任意一点，s = n1M n2.sS：f (- , x2 y2, z) = 0.F(x, y,z) =0LG(x, y,z) =0关于xoy平面上的投影柱面方程为：H (x, y) = 0 ；-H(x. y)=0在xoy平面上的投影曲线为 C：j .z = 0第九章：多元函数微分法及其应用一、平面点集1 .内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2 .聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内的孤立点;3 .
12、开集和闭集内的所有点都是聚点.二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1 .二元函数 f (x, y)在(x0, y0)点的二重极限：lim f(x, y)=A.(x,y)(xc,yo)2 .二元函数 f (x, y)在(x, yo)点的连续性：lim f (x,y) = f (x, y).(x,y) xo,yo)3 .二元初等函数在其定义区域内连续 .二、二元函数的偏导数的相关知识点1 .函数z = f(x, y)对自变量x, y的偏导数：Ez及乌.二 x二 y2.函数 z = f (x, y)注：若二阶混合偏导数22二 z 二 z、 :x :y；y :x2z:2 z对自变量x, y的二阶偏导
13、数： 尖、z :x :y：2z：2zz与一z连续，则二者相等.x :y y .x三、二元函数的全微分：dz =dx - dyfx：:y四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1 .函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系2 .偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不存在 )偏导数连续，全微分存在，反之未必.3 .连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在 )函数连续，全微分未必存在.五、二元复合函数的偏(全)导数1 .中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：z = f(u,v),u =cp(t),v =，(t),z = f (中(t)了(t),dz z du ：:z dv = r 出 ：:u dt v dt2 .中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数:z = f (u,v),u =-x,y),v a(x,y),z = f (5(x, y)W(x, y),:z；z 刃 ：:z v ：:z；z ：:u；z jv+,.:xfu ；:xv x ；yfu ：:xv ；x六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：F(x, y,z) =0确定隐函数z=f(x, y),直接对方程左
