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1、平面法向量与立体几何 引言：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。 2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量或，或，在平面内任找两个不共线的向量。由
2、，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到。二、平面法向量的应用1、 求空间角(1)、求线面角：如图4-1，设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则AB与平面所成的角为：例3、 在例2中，求直线与平面所成的角。解析：由例2知，即(2)、求面面角:设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：（图5-1）; (图5-2)图4-1BACAB图4-2C图5-1图5-2 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图5-1中，的方向对平面而言向外，的方向对平面而言向内；在图5-2中，的方向对平面而言向内，的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“
3、外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角。例4、 在例2中，求二面角的大小。 解：由例2知，平面的法向量是，平面的法向量是，图6nabAB设二面角的大小为，则 ，得。2、 求空间距离（1）、异面直线之间距离:方法指导：如图6,作直线a、b的方向向量、，ABOn图 7求a、b的法向量，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量；求向量在上的射影d，则异面直线a、b间的距离为,其中（2）、点到平面的距离:方法指导：如图7,若点B为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为，则点P到平面的距离
4、公式为：例5、 在例2中，求点到平面的距离。 解析：由例2的解答知，平面的单位法向量，又，设点到平面的距离为，则AaB图8。 所以，点到平面的距离为。（3）、直线与平面间的距离:方法指导：如图8,直线与平面之间的距离：图9AB，其中。是平面的法向量（4）、平面与平面间的距离:方法指导：如图9,两平行平面之间的距离：图10a，其中。是平面、的法向量。3、 证明图11a（1）、证明线面垂直：在图10中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（）。（2）、证明线面平行：在图11中,向是平面的法向量，是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（）。图12（
5、3）、证明面面垂直：在图12中，是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直（）（4）、证明面面平行：在图13中, 向是平面的法向量，是平面的法向量，证明两平面的法向量共线（）。图13三、利用法向量解2008年高考立体几何试题例6、（湖南理第17题）如图14所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2. （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.图14解：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）因
6、为平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE平面PAB.()易知 设是平面PBE的一个法向量，则由 得：所以 设是平面PAD的一个法向量，则由 得： 所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是点评：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不出问题，一般都能解决问题ABCDEA1B1C1D1yxz图14例7、（全国卷理科第19题)如图14，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，（）因为，故，又，所以平面（）设
7、向量是平面的法向量，则，故，令，则， 等于二面角的平面角，所以二面角的大小为点评：本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和推理能力。例9（安徽卷理第18题）如图16，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。解：作于点P,如图16,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,(1)设平面OCD的法向量为,则图16即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B
8、到平面OCD的距离为点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，异面直线所成的角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何的能力。四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
9、五、总结：以上介绍了平面的法向量及其二种求法，我们教材上只介绍了用数量积（内积法）求法向量，而并没有介绍用向量积（外积法）求法向量，希望大家注意灵活应用，我们以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。空间向量与立体几何一 利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样，难度为中档题，且常
10、考常新。考向链接：1空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。例1：（2010安徽高考理科18）如图，在多面体中，四边形是正方形，为的中点。 (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求二面角的大小。【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答
11、】AEFBCDHGXYZ(1)(2)(3) 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。二：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦：1线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接：1利用空间向量求两异面直线所成的角,
12、直线与平面所成的角的方法及公式为:（1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线的方向向量，是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。 （2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。 （3）线面角的范围是090，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。三：利用空间向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命题的重点内容，是年年必
13、考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等， 【高考真题探究】 1. （2010广东高考理科0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算出、，再由向量的数量积列出方程，从而求出【规范解答】，由得，即，解得【答案】23. （2010陕西高考理科8）
14、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.（）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。【规范解答】解法一 （）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2， BC=，四边形ABCD是矩形.A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,PC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量
