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1、 专题 函数的周期性一 知识点精讲1周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集2性质若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；若周期函数f(x)的周期为T，则是周期函数，且周期为。3几种特殊的具有周期性的抽象函数： 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）（1），则的周期 （2），则的周期（3），则的周期 （4），则的周期（5），则的周期（6），则的周期数（7），则的周期（8）函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则
2、其周期为（9）函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数（10）函数的图象关于两点、都对称，则函数是为周期的周期函数（11）函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数 (12)，则的周期.二 典例解析1设f(x)是(, +)上的奇函数，f(x+2)= f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=( )A.0.5 B. 0.5 C.1.5 D. 1.52若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）A B C D3已知在R上是奇函数满足，则 4已知定义在R上的奇函数满足，则= 例5已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函
3、数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：； 求的解析式；求在上的解析式。9、函数定义域为R，且恒满足和，当时，求解析式。10、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。附参考答案： ： ： ：y轴即 ：y轴： ：C ： ：方程的根为共9个根。2.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数的最小值是 （ ） A5 B4 C3 D24.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)= 6.数列中 7 已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。8 的定义域是R，且,若,求的值。9已知函数满足，若，试求(2005)。（2009
4、山东理）10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.（2009山东理）16.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期
5、的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8（2009全国一）（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数解: 与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选D专题 函数对称性一 知识点精讲：I 函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、 图象关于直线对称推论1： 的图
6、象关于直线对称推论2、 的图象关于直线对称推论3、 的图象关于直线对称2、 的图象关于点对称推论1、 的图象关于点对称推论2、 的图象关于点对称推论3、 的图象关于点对称II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、与图象关于Y轴对称2、与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、函数与其反函数图象关于直线对称5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与 图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称二 典例解析：1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时, ,则_。解析：关于直线对称，又是奇函数，故有，,2、已知函数满足，则
7、图象关于_对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知图象关于对称3、函数与函数的图象关于关于_对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于对称4、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。解析：这是一个函数的对称性，的图象关于y轴即对称5、设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。解析：关于直线对称，是由向左平移一个单位得到的， 故的图象关y轴对称6、设的定义域为R，且对任意，有，则关于_对称，图象关于_对称，。解析：令， 则有 关于直线 即关于对称，是由纵坐标不变，横坐标变为原来的，关于 对称。7、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（ ）A、
8、5 B、10 C、15 D、18解析：的图象关于直线对称，故五个实根，有两对关于直线对称，它们的和为，还有一个根就是。故这5个实根之和为15，正确答案为8、设函数的定义域为R，则下列命题中，若是偶函数，则图象关于y轴对称；若是偶函数，则图象关于直线对称；若，则函数图象关于直线对称；与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_。解析： 错 关于直线对称， 对 错 若，则函数图象关于直线对称； 对第十五讲 抽象函数问题一 知识点精讲： 1 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难
9、点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。2中学阶段常用抽象函数的“原型”（函数）1(为常数）2=（且）3（且）4(为常数）5或=(常数）6= 方法：想具体函数的运算法则，代特殊值。二典例解析例1设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期例2已知函数对于任意实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，（1）求证在上的奇函数。 (2) 求证在上的增函数（3）求函数在区间-2，1上的值域。例3已知函数对于一切实数、满足(0)0，且当0
10、时，1 （1）当0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性例4已知函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4)=1，（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范围；（4）试证()=（nN）例5已知函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=(1) 求证：0；（2）求证：（3）求证：在（0，+）上为单调减函数（4）若=9，试求的值。三 课堂检测例2（2006安徽）函数对于任意实数满足条件，若则_ ；1.(2006山东)定义在R上的奇函数满足，则= ( ) A）-1 B 0 C 1 D 22.(2007启东质检)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，
11、对任意xR，都有f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，则f(2006)= ( )A4012 B2006 C2008 D03.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ ）A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=4.已知是偶函数，当时，为增函数，若，且，则 5.(2006安徽)函数对于任意实数满足条件,若f(1)=5,则f(f(5)=_6已知函数满足：，则 。7已知函数对一切，都有，求证:（1）是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.8已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，（1）求证：f(
12、x)是偶函数；（2）f(x)在(0,+)上是增函数；（3）解不等式4 (2010重庆)（15）已知函数满足：，则_.（2009福建理）5.下列函数中，满足“对任意，（0，），当的是A= B. = C .= D 5【答案】：A解析依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。（2009陕西理）12定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) (B) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (C) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：C (2009四川理) 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。（同文12）解析
