《高等代数第二版答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数第二版答案（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等代数第二版答案【篇一：高等代数(北大版 ) 第 6 章习题参考答案】.设 m?n, 证明： m?n?m,m?n?n 。证 任取 ?m, 由 m?n, 得 ?n, 所以 ?m?n, 即证 m?n?m 。又因m?n?m, 故 m?n?m 。再证第二式，任取?m 或 ?n, 但 m?n, 因此无论哪 一种情形，都有?n, 此即。但 n?m?n, 所以 m?n?n 。2 . 证明 m?(n?l)?(m?n)?(m?l)， m?(n?l)?(m?n)?(m?l)。证 ?x?m?(n?l), 则 x?m 且 x?n?l. 在后一情形，于是x?m?n 或x?m?l. 所以 x?(m?n)?(m?l) ，
2、由此得 m?(n?l)?(m?n)?(m?l) 。反之， 若x?(m?n)?(m?l) ，则 x?m?n 或 x?m?l. 在前一情形， x?m,x?n, 因 此 x?n?l. 故得 x?m?(n?l), 在后一情形，因而x?m,x?l,x?n?l ，得x?m?(n?l), 故 (m?n)?(m?l)?m?(n?l), 于是 m?(n?l)?(m?n)?(m?l)。( n?l )，则 x?m ， x?n?l 。 若 x?m? ( m?l )因而 x? ( m?n )在前一情形xx?m?n ， 且 x?m?l ，。在后一情形，x?n,x?l, 因而 x?m?n, 且 x?m?l ，即x? (m?
3、n ) ?(m?l )所以 (m?n ) ? (m?l ) ?m? (n?l )故m? (n?l ) =( m?n ) ? ( m?l )即证。3 、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1) 次数等于 n (n?1 )的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；乘法；3 ) 全体实对称(反对称，上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4 ) 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5 ) 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：( a1 ， b1 )( ?a?b? ( a1?a2 ， b1?b2?a1a2 ) (kk?1 ) 2k。(al ,
4、 bl) = (ka1 , kb1+a126 ) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k?a?0 ； 7 ) 集合与加法同6)，数量乘法定义为：k?a?a ；a?b?ab ， k?a?ak ；解 1 )否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如(x?5 ) ? (?x?2 ) ?3 。因为f(x)+g(x) =h(x)，kf(x)=d( x)所以f( a)+g(a) =h(a)，kf(a)=d( a)由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的 18 条，故 v 构成线性空间。3 )矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的18 条性质，只需证明对称矩阵(上三角矩阵，反对
5、称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当 a ， b 为反对称矩阵， k为任意一实数时，有?=a+b?=-a-b=-?( a+b )( a+b )， a+b 仍是反对称矩阵。 ?k?a(ka) ? (k? ) a? () ka ，所以 ka 是反对称矩阵。故反对称矩阵的全体构成线性空间。4 )否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5 )不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，( 0 ， 0 )是零元，任意(a, b)的负元是(-a, a-b)。对于数乘：2nn1(1?1)2a)?(a,b),2l(l?1)2l(l?1)k(k?1)k.(l.(a
6、,b)?k.(la,lb?a)?(kla,klb?a2?(la)2)222l(l?1)2k(k?1)kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,klb?a?(la)2)?(kla,a?(la)2)2222kl(kl?1)2?(kla,a?klb)?(kl).(a,b),2(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?(k?l)a,a?(k?l)b2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?(k?l)a,a?(k?l)b.21 。( a，
7、 b)(。 ?1a ， 1 。 b?即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)=k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2) ， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2a1?kb2?a2?k2a1a2)= (ka1?ka2,kb1?22k(k?1)2k(k?1)2a1?a2?k2a1a2?ka1a2)= (k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?22k(k?1)222 (a
8、1?a2) , =(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?2二 (ka1,kb1?即 k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2) ，所以，所给集合构成线性空间。 6 )否，因为1?0?. 。7 )否，因为(k?l)?,k?l?2?, 所以(k?l)?(k?)?(l?)， 所给集合不满足线性空间的定义。8 )显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足i)a?b?ab?ba?b?a;ii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c);iii)1 是零元：a?1?a?1?a;1111iv)a 的负元是：a?a?1,且？a?1;aa
9、aav)1?a?a1?a;vi)(k?(l?a)?k?(al)?(al)k?alk?akl?(kl)?a;vii)(k?l)?a?ak?l?ak?al?(ka)?(la);viii)k?(a?b)?k?(ab)?(ab)k?akbk?(k?a)?(k?b).所以，所给集合r 构成线性空间。?4 在线性空间中，证明： 1 ) k0?0 2 ) k(?)?k?k? 。证 1 ) k0?k(?(?)?k?k(?)?k?k(?1)?(k?(?k)?0?0。2 )因为 k(?)?k?k(?)?k?, 所以 k(?)?k?k? 。5 证明：在实函数空间中， 1 ， cos2t,cos2t 式线性相关的。证
10、 因为 cos2t?2cost?1 ，所以 1 ， cos2t,cos2t 式线性相关的。26 如果 f1(x),f2(x),f3(x) 是线性空间 px 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。证 若有不全为零的数k1,k2,k3 使 k1f1(x)?k2f2(x)?k3f3(x)?0，不妨设 k1?0, 则 f1(x)?kk2f2(x)?3f3(x) ，这说明 f2(x),f3(x) 的公因式也是 f1(x)k1k1的因式，即 f1(x),f2(x),f3(x) 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以f1(x),f2(x),f3(x) 线性无关。7 在 p4 中，求
11、向量?在基 ?1,?2,?3,?4 下的坐标。设1) ?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1?1),?4?(1,?1,?1,1),?(1,2,1,1)；2) ?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),?(0,0,0,1)。?a?b?c?d?1?a?b?c?d?2?解 1 )设有线性关系 ?a?1?b?2?c?3?d?4 ，则 ? ，?a?b?c?d?1?a?b?c?d?1可得?在基 ?1,?2,?3,?4 下的坐标为 a?5111,b?,c?,d? 。 4444?a?2b?c?0?a?b?c
12、?d?0?2)设有线性关系 ?a?1?b?2?c?3?d?4 ，则 ? ，?3b?d?0?a?b?d?1可得?在基 ?1,?2,?3,?4 下的坐标为 a?1,b?0,c?1,d?0。8 求下列线性空间的维数于一组基： 1 )数域 p 上的空间 pn?n ； 2)pn?n 中全体对称(反对称，上三角)矩阵作成的数域p 上的空间； 3)第 3 题 8) 中的空间 ;4)实数域上由矩阵a 的全?100?1?i0?,? 体实系数多项式组成的空间 ,其中 a=?0?2?00?2?解 1)pn?n的基是 eij(i,j?1,2,.,n), 且 dim(pn?n)?n2?2) i) 令 fij?.?. 1
13、1? ，即 a?a?1, 其余元素均为零,则ijji?.?f11,.,f1n,f22,.,f2n,.,fnn?是对称矩阵所成线性空间 mn 的一组基,所以mn 是n(n?1)维的。 2?ii)令 gij?.?. 1?1? ，即 a?a?1,(i?j), 其余元素均为零,则ijji?.?g12,.,g1n,g23,.,g2n,.,gn?1,n? 是反对称矩阵所成线性空间 sn, 所以它是n(n?1)维的。 2iii) ?e11,.,e1n,e22,.,e2n,.,enn?是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是n(n?1)2维的。3)任一不等于1 的正实数都是线性无关的向量,例如取2 ，且对于任
14、一正实数a,可经2线性表出，即.a?(log2a)?2,所以此线性空间是一维的，且 2 是它的一组基。?1,n?3q ?1?3i3?n4)因为 ?,?1, 所以 ?,n?3q?1 ，2?2,n?3q?2 ?1?22 a? 于是 ?4?1?e,n?3q?3?n?,a?1?e ， 而 a?a,n?3q?1 。?a2,n?3q?2?1?9.在 p 中,求由基 ?1, ， ?2,?3,?4, 到基 ?1,?2,?3,?4 的过渡矩阵,并求向量 ?在所指基下的坐【篇二：高等代数(王萼芳石生明 著) 课后答案 高等教育出版社】txt 第一章 多项式 习题解答 172621 、( 1 )由带余除法，得q(x)?3x?9,r(x)?9?9( 2 ) q(x)?x2?x?1 ， r(x)?5x?72 、(1 ) ?p?1?m2?0?m(2?p?m2)?0? ,(2)由？得？m?0?q?1?q?m?0?q?1?p?m2?0?p?q?1 或？p?m2。？23、(1) q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109,r(x)?327( 2) q ( x) =x2?2ix?(5?2i) ， r(x)?9?8i4 、( 1 )有综合除法：f(x)?
