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1、 1 1【备战20xx高考高三数学全国各地一模试卷分项精品】专题八 立体几何一、选择题【20xx云南师大附中月考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8 B. C. D. 4【答案】A【20xx云南师大附中月考】三棱锥内接于半径为的球中，则三棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，过作平面，使平面，交于点，设点到的距离为，当球心在上时，最大，此时分别为，的中点，且球心为的中点，所以，所以，故选C【20xx山东菏泽上学期期末】已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分
2、也不必要条件【答案】A【解析】依题意，两平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行，反之若直线和平面平行，两个平面可能相交，个为充分不必要条件.【20xx山东菏泽上学期期末】某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【20xx山东菏泽上学期期末】一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【20xx吉林二调】某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）A. B
3、. C. D. 【答案】B【解析】由三视图，可得该几何体是一个正三棱柱（如图所示），其中底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，由题意可知该几何体的外接球的球心为，半径为，为底面正三角形的中心，则，则该球面的表面积为.故选B.【20xx江西师大附中、临川一中联考】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【20xx湖北重点中学联考】如图所示，在四边形中，,将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ）A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面【答案】D【20xx湖北重点中学联考】一个几何体的三视图如图所
4、示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线，故球的半径为，所以该外接球的表面面积，应选答案B。【20xx河北衡水六调】已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【20xx江西上饶一模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A5BCD 【答案】 【解析】几何体如下图，几何体为底面
5、为直角梯形的直四棱柱，截去阴影表示的三棱锥，所以体积为 ,故选D.【20xx内蒙包头十校联考】如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）A 3 B 4 C. D【答案】 【20xx内蒙包头十校联考】在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成角S的取值范围是（ ）A B C. D【答案】 【解析】如下图： ,所有异面直线所成的角为,当点在线段上运动时，求的取值范围，点不能与重合，与点重合时，最大，最大为 ，的取值范围是 所以异面直线所成角的取值范围是，故选D.【20xx山西五校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A
6、B C D【答案】 【20xx山西五校联考】已知三棱锥内接与球，且，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）A B C D【答案】 【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面
7、中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.【20xx广东深圳一模】已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为球与各面相切，所以直径为2，且的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为正三角形的外接圆，由正弦定理知，所以面积，选D【20xx荆、荆、襄、宜四地七校联考】某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】B【点
8、睛】 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据二、填空题【20xx湖北武汉武昌区调研】若四面体的三组对棱分别相等，即，给出下列结论：四面体每组对棱相互垂直；四面体每个面的面积相等；从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 而小于 ；连结四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分；从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长；其中正确结论的序号是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】把四面体补形为平行六面体
9、,由三组对棱分别相等可知此平行六面体为长方体,如图所示,只有长方体为正方体时才正确,故不正确.在长方体中,有BACDCA.ABCDCB,CBDADB.四面体ABCD每个面的面积都相等,故正确.对于,以BAC,CAD,BAD为例说明.BACDCA,CAD=ACB.又DABCBA,BAD=ABC.BAC+CAD+BAD=BAC+ACB+ABC=180,故不正确.对于,连接四面体ABCD对棱中点的线段即是连接长方体对面中心的线段,显然相互垂直平分,故正确.对于,以AB、AC、AD为例进行说明.AD=BC,AB、AC、BC三边长可构成ABC,AB、AC、AD可以作为一个三角形的三边长.同理可得从其他顶
10、点出发的三条棱的长也可以作为一个三角形的三边长.故正确.【20xx河北衡水六调】已知三棱锥平面，其中，四点均在球的表面上，则球的表面积为_【答案】【点睛】本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，本题考查几何中常用的一种叫补全图形的方法来完成；本题在解答时，首先根据且平面，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积 三、解答题【20xx安徽合肥一模】如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，.（）若为中点，求证：平面；（）求直线与平面所成角的正
11、弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（）四边形为菱形，连结，则为等边三角形，又为中点，由 得， ,底面，底面，又 ,平面【点睛】立体几何中计算涉及两个内容一个是面积体积问题，一个是空间的角与距离问题，其中空间角与距离问题可通过空间向量法简化思维量（1）若两条异面直线和的方向向量分别为，两条异面直线和所成的角为，则；（2）若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，则；（3）设分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角大小为，则或，其中【20xx云南师大附中月考】如图，三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（）
12、证明过程见解析；（）.（）作BOAC于点O，过点O作OH/PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则，则平面CDA的一个法向量为设平面CDB的一个法向量为则可取，所以，所以二面角BCDA的余弦值为 【20xx湖北武汉武昌区调研】如图，四棱锥中， ，侧面为等边三角形， , .（）证明：平面;（）求与平面所成角的正弦值.【答案】（）证明过程见解析；（）与平面所成角的正弦值为【解析】方法一：空间向量法（）以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则, ,设，则 ，且， ， ，由,得 ，解得： ，由,得 由,得 解，得 ， , , , , , ,平面 6分方法二：综合法（） 解：如下图，取的中点，连结，则四边形为矩形， ,侧面为等边三角形，,且,又 , ,.Com平面.（）过点作于，因为，所以平面平面所以平面平面,由平面与平面垂直的性质，知平面,.Com在中，由，得，所以.过点作平面于，连结，则为与平面所成角的角，因为 ，平面,所以平面，所以,在中，由，求得.在中， ,所以 ,
