《线性代数教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教材（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章n 阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式， 并且利用它们来解二元、三元线性方程组 . 为了研究 n 元线性方程组，需要把行列式推广到 n 阶，即讨论 n 阶行列式的问题 . 为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出 n 阶行列式的概念. 1全排列及其逆序数先看一个例子.引例用 1、2、3 三个数字， 可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、 2、 3 三个数字中任选一个，所以有种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1 种放法 .
2、因此，共有33216种放法.这六个不同的三位数是：123， 132， 213， 231， 312， 321.在数学中， 把考察的对象， 如上例中的数字 1、2、3 叫做元素 . 上述问题就是：把 3 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于 n 个不同的元素， 也可以提出类似的问题： 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列 .n 个不同元素的所有排列的种数， 通常用 Pn 表示 . 有引例的结果可知 P3= 3.2.1=6.1为了得出计算 Pn 的公式，可以仿照引例进行讨论：从 n 个元素中任取一个放在第一个位
3、置上，有 n 种取法； 又从剩下的 n 1 个元素中任取一个放在第二个位置上，有n 1 种取法；这样继续下去， 直到最后只剩下一个元素放在第n 个位置上， 只有 1种取法 . 于是Pn=n .（ n1） . . 3 . 2 . 1 = n! .对于 n 个不同的元素， 我们规定各元素之间有一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n 个元素的任一排列中， 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个逆序 . 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列 .下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法
4、.不失一般性， 不妨设 n 个元素为 1 至小到大为标准次序 . 设n 这n 个自然数， 并规定由p1 p2pn为这n 个自然数的一个排列，考虑元素pi (i1,2, n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，就说pi 这个元素的逆序数是ti.全体元素的逆序数之总和ntt1t2t nt i，i 1即是这个排列的逆序数.例 1求排列 32514 的逆序数解在排列 32514 中，.23排在首位逆序数为 0；2的前面比2大的数只有一个“ 3”，故逆序数为1；5是最大数，逆序数为 0；1的前面比1大的数有三个“3、 2、5”，故逆序数为3；4 的前面比4 大的数只有一个“5”，故逆序数为1；
5、于是排列的逆序数为t010315. 2n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构. 三阶行列式定义为：a11 a12 a13a21a22a23a11a22 a33a12 a23 a31a13a21a32a31a32a33a11a23 a32a12 a21a33a13a22 a31 . (1)容易看出：（ 1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列 . 因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成 a1 pa2 pa3 p . 这里第一下标 （称行标） 排成标准排列 123 ，而第123二个下标（称列标）排成p1 p2 p3 ，它是
6、1、2、3 三个数的某个排列 .这样的排列共有6 种，对应（ 1）式右端共含6 项。 各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123， 231， 312；带负号的三项列标排列是：132， 213， 321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.3因此各项所带的正负号可以表示为( 1)t ，其中 t 为列标排列的逆序数 .总之，三阶行列式可以写成a11 a12 a13a21 a22 a23( 1)t a1 pa2 pa3 p，123a31a32 a33其中t为排列 ppp的逆序数，表示对1、 、3三个数的所有1232排列 p1 p 2p3 取和 .仿此，我们可以把
7、行列式推广到一般情形.定义设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的表a11a12a1 na21a22a2nan1an2ann ,作出表中位于不同行不同列的n 个数的乘积，并冠以符号( 1)t ；得到形如( 1) t a1p1a2 p2anp(2)n的项，其中 p1 p2pn 为自然数 1, 2 ,n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数 . 由于这样的排列共有n! 个，因而形如（ 2）式的项共有 n! 项.4所有这 n! 项的代数和( 1)t a1p1 a2 p 2anpn称为 n 阶行列式，记作a11a12a1nDa21a22a2 n，an1an 2ann简记作det(aij) .数 aij
8、称为行列式的元素.按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的.当 n1时，| a |a ，注意这里| a |不是a 的绝对值 .例 2证明对角线行列式（其中对角线上的元素都是i ，未写出的元素都是0）1212n ；n12n( n1)( 1)2n .1 2n5证第一式是显然的，下面证第二式.若记iai ,n i 1 , 则依行列式定义1a1n2a2,n 1nan1( 1)t a1n a2 ,n 1 an1( 1) t1 2n ,其中 t 为排列n( n1)21 的逆序数，故t01 2( n 1)n(n1) .证毕2对角线以下（上）的元素都为 0 的行列式叫做上（
9、下）三角行列式，它的值与对角行列式一样 .例 3证明下三角行列式a11a21a220ann .Da11a22an1 an 2ann证 由于当 ji 时， aij0 ，故 D 中可能不为0 的元素 aip i ，其下标应有 pii ，即 p1 1, p22, , pn n.在所有排列p1 p2 pn 中，能满足上述关系的排列只有一个自然6排列 12n ，所以 D中可能不为 0的项只有一项 ( 1) t a11a22ann ，此项的符号 ( 1)t(1)01，所以Da11 a22ann .例 4设a11a1k0Dak1akkc11c1kb11b1ncn1cnkbn1bnna11a1kD1det(a
10、ij )ak1akkb11b1nD2det(bij )bn1bnn证明 DD1D2 .证记 Dd etd(ij ) ，其中dijaij ， (i 1, k; j1, , k)7dki ,kjbij ， (i1, n;j1,n) .考察 D 的一般项( 1) t d1 rd kr dk 1, rk1dk n ,r n ,1kk由于当 i k, jk 时， di j0，因此 r1 , rk 只有在 1, k 中选取时，该项才可能不为零.而当 r1 , rk在 1, , k 中选取时，rk 1 , , rkn 只能在 k1, kn 中选取 .于是 D 中可能不为零的项可以记作( 1)t a1 pakp
