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1、2月大数据精选模拟卷02（天津专用）数 学本卷满分150分，考试时间120分钟。第一部分（选择题 共45分）一、选择题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、，则样本的中位数在（ ）A第3组 B第4组 C第5组 D第6组【答案】B【解析】由图计算可得前四组的频数是22，其中第4组的为8，故本题正确答案是 2设向量，夹角为，则“是锐角”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答
2、案】A【分析】先转化条件，再判断充分性成立和必要性不成立即可解题.【解答】解：由题意： 充分性：向量，夹角为，且“是锐角”“”，所以充分性成立；必要性：当向量，夹角为时，“”成立，但“是锐角”不成立，所以必要性不成立.所以设向量，夹角为，则“是锐角”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查和差向量的模与数量积的运算、充分条件与必要条件的判断，是基础题.3我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先排除函数的奇偶性，再判断时的函数值的正负.【解答】，函数是奇函数，故排除AB，当时，
3、所以，故排除D.故选：C4设全集集合则( )A B C D【答案】C【解析】试题分析： 所以，所以，故选C考点：集合的交集、补集运算5已知四棱锥，平面，二面角的大小为，若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】利用对角互补的四边形是圆的内接四边形证得四点共圆，根据圆周角为所对的弦为直径得到是圆的直径.利用二面角的定义判断出为二面角的平面角，且，由此求得的长，易知球心为SC的中点，求得球的半径，并求得球的表面积.【解答】因为，所以四点共圆，直径是.因为平面，所以为二面角的平面角，即.因为，所以，又，所以,所以.易知球心为SC的中点，所以该球的表面积为.故选
4、C.【点评】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查面面角的概念，属于中档题.6已知函数满足，且当时，设，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据题意，由可得函数为偶函数，则，据此结合函数的解析式分析可得在上为增函数，结合函数的单调性可得，然后即可得出答案【解答】根据题意，函数满足，即函数为偶函数，故,当时，, 分析易得为减函数，则在上为增函数，又由，则有，故选：B【点评】本题考查比较大小问题，难点在于利用偶函数的性质判断出在上为增函数，然后利用函数的单调性进行判断即可7直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为（ ）A2BCD【答案】C【解析
5、】【分析】由题意，根据双曲线的渐近线方程，求得直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再根据抛物线的定义得到弦长， 求得，即可求解双曲线的离心率.【解答】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，设直线的方程为又由抛物线的焦点，则，即，所以直线的方程为设，联立，得，所以，根据抛物线的定义可知，即，即，又由，所以，所以，故选C.【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及抛物线的标准方程与几何性质和抛物线的焦点弦的性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的
6、结论：它的图象关于直线对称；它的最小正周期为；它的图象关于点对称；它在上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ）ABCD【答案】BC【分析】根据图象的变换得出的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【解答】因为，所以，令，得，所以不是对称轴错误，显然正确，令，得，取，得，故关于点对称，正确，令，得，取，得，取，得，所以错误.所以选项BC正确.故选：BC【点评】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把当成整体.9，恰有三个零点，则实数的取值范围是ABCD【答案】A【分析】在同一坐标系内画出，的图象，转化为图象有3个不同的交点的条件【解答】解：在同一坐标系内画出，的图象（
7、如图）过点作的切线，设切点为，切线的斜率，切线方程为，点在切线上，要使恰有三个零点，则，故选：【点评】本题考查函数零点的意义及个数求解函数与方程的思想利用函数的图象可以加强直观性，本题先由已知条件转化为判断两函数图象交点个数，再利用函数图象解决，属于中档题第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10在二项式的展开式中，展开式的系数和为_【答案】32【分析】利用赋值法令即可得到展开式各项的系数和.【解答】由二项式的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以得：展开式的系数和为.故答案为：.【点评】本题考查二项展开式各
8、项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力.11若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数_【答案】4【解析】试题分析：考点：纯虚数的概念12直线与圆相交于,两点，若，则实数的值_【答案】【解析】试题分析：考点：直线与圆的位置关系13甲，乙，丙三人独立破译同一份密码已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是_【答案】【分析】设表示至少有1人破译出密码,可得，计算可得答案.【解答】解：依题意，设表示至少有1人破译出密码，则的对立事件表示三人都没有破译密码，则.故填：【点评】本题主要考察对立
9、事件的概率和独立事件的乘法公式，相对简单.14已知m，n，a，且满足，则的最小值为_.【答案】1【分析】设点，直线，直线， 的最小值可转化为点与点两点间距离的最小值，显然最小值为两平行线之间的距离.【解答】设点，直线，直线，由题意知点在直线上，点在直线上，所以，显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，即.故答案为：1.【点评】本题考查两点间的距离公式，考查两平行线之间的距离公式，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.15如图，在四边形中，且，则实数的值为_，若是线段上的动点，且，则的最小值为_【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直
10、线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【解答】，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,，的坐标为,又,则，设，则（其中），所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点评】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、 解答题：本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项.（）求数列的通项公式；（）令求证：是等比数列并求通项公式（）令，（为正整数），求数列的前n项
11、和.【答案】解: （）由得由，得即：-2分由于数列各项均为正数，即数列是首项为，公差为的等差数列，数列的通项公式是-4分（）由知，所以，有，即，-6分而，故是以为首项，公比为2的等比数列。所以-8分（），所以数列的前n项和错位相减可得-12分【解析】试题分析：（1）由得，两式相减并整理得，又，所以，由此可得数列为公差为的等差数列，由此可求数列的通项公式；（2）由得，两边取以为底的对数得，所以数列是以为公比、为首项的等比数列，由此可求出数列的通项公式；（3）由，利用错位相减法即可求其前项的和.试题解析： （1）（2）（3）解：（1）由得 由，得：即：由于数列各项均为正数，即数列是首项为，公差为的
12、等差数列，数列的通项公式是（2）由知， 所以，有，即， 而，故是以为首项，公比为2的等比数列. 所以（3），所以数列的前n项和（1）（2）（1）-（2）式错位相减可得考点：1.与的关系；2.等差数列的定义与性质；3.等比数列的定义与性质；3.错位相减法求和.17在中，角所对的边分别为向量，已知，（）求的大小；（）判断的形状并证明【答案】（）；（）为直角三角形，证明过程详见解析.【分析】（）根据可得，整理可得或（舍去），遂可得答案；（）根据正弦定理，可得，代入，整理得或，可证为直角三角形.【解答】解：（）由得即或是的内角舍去,（）由正弦定理得：或即或当时，因为，所以为直角三角形【点评】本题考查了
13、向量的平行，正弦定理以及三角函数的运算，属于中档题18如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【解答】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且 由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为【点评】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”19已知椭圆直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为
