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1、第三章微分中值定理导数的使用教学目的与要求1掌握并会使用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大 值和最小值的求法及其简单使用。3. 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。4. 握用洛必达法则求未定式极限的方法。5. 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6. 了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲）1 罗尔定理如f X满足：（1）在a, b i连续.（2）在a,b可导.（3） f a = f b
2、则至少存在一点ia,b使f =0例 设 g x =x x 1 2x 1 3x -1，贝V在区间（-1 , 0）内，方程g/ x =0有2个实根；在（-1 , 1）内g/ x A0有2个根例设f X在0 , 1 可导，且f 0二f 1 = 0 ,证明存在0,1 ,使ff/= 0。证：设 F X = xf X 在a,b可导，F 0 = F 1存在 0,1 使 F/=0 即 ff/=0例设f x在0 , 1可导，且f 0 = f 1 = 0,证明存在F F/=0。解：设F x = exf x，且F 0二F 1 由罗尔定理存在 使F/=0 即e f e f/=0,亦即f汗Wf /=0例 习题6设F x
3、二f x eg x （复合函数求导）2、拉格朗日中值定理如f X满足：在a,b连续；在（a,b）连续,贝y存在匚a, b使f ba =f /- a。推论：如果在区间I上f/ x三o，则f x c如果在区间I上f/ x 00）,f x在I单增（减）例对任意满足x 0 sin bxx - si n x3X3)x- 3x 2吧 x3”X + 1例：1)2 - arcta nx lim -X ：x2)lim畀X) X3)n lim 二 x)： ： e x 0)3、其它类型1)2)0 -03)00 ln y = 0 ln 0(0 ：:型)04) y = 1, y八： 解法同3)例 : 1) lim xn
4、 ln x (n 0)XT02) lim (secx -tanx)X23) lim xXXT0十tan x x4) lim 厂xt x sin x三、泰勒公式一、多项式：P(x) p a1(x-X0)&化-乞)2an(x-XD)n在点的各阶导数：P(x) = a。P(xo) = aiP(n)(xoH n!an得：an冷宀X0)P(x) =aof(xo)(x-xo)二、泰勒中值定理:qxwn!如果函数 f (x)在含有xo的某个开区间(a,b)有直到(n 1)阶的导数，则对任x (a,b)有:1、( N阶泰勒公式)f(x) = f(xO f(xo)(x-xO 字(x-冷)22j 八(x) n!(
5、n 1)Rn (x)称为余项。5(E)n出疋(1)Rn(x)(X-X)( 在 X。与 x之间)(n +1)!拉格朗日型余项(2)Rn(X)= O(X - xo)皮亚诺余项。2、当Xo二0得麦克劳林公式:f(x) = f(0) f(C)x x22f(n)(0)n!xn R(x)三、常见函数的泰勒展开1)2exx 2!n-xXe n .1Xn! (n 1)!(0 “ : 1)2)y 二 sin x2m 4Rn(x) X R35sinx=x-X x -(-1)35!(2m1)!3)y = (1 x)a四、函数的性态1、极值1）定义：如在X。邻域内，恒有f X X。, f x - f xo ，则称f
6、X。为函数f x的一个极大（小）值。可能极值点，f7 x不存在的点与f/ x = 0 的点。（驻点）驻点-极值点2）判别方法导数变号。ii、f x =0，；f(X 0)A 0f(X0)0极小值极大值例1、设y二f x满足关系式y7/2y7 4y = 0，且 f x 0,f7 Xo =0，贝y f x 在 x0 点处 AC、在Xo某邻域内单增D、在Xo某邻域内单减例2已知函数f x对一切x满足xf/ x 3x f / x 2 = 1 - e如 f / x0 =0, X。=0，则 A_A f xo是f X的极小值B f x0是f X的极大值C 、 x0 f x0是曲线的拐点d f Xo不是f x的
7、极值，x0、f x0也不是曲线 y=f x 的拐点。例3设函数f X在x=0的某邻域内可导，f / 0 =0,lim 口 =丄，则f 0是f x的极大值。x0sin x22、函数的最大值与最小值（1）求出a, b i内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值， 再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2） 在a, b内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最 大值。（3）如 0（： 0）, f （a） f （b）分别为最小，最大值。（4）实际问题据题意可不判别。2例1、 在抛物线y = 4 - x上的第一象限部分求一点P,过P点作切线，使该切线与坐
8、标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为P x, y，切线方程为Y - 4 -x? = -2x XX即亠.亠才x2+4 x2+4 三角矿形面积：2 21 (x 4)2x，s/(x) 4(3x21682 )xS (x) =0 x =32x =3,令 S（ ；）0（唯一）116(x3 8x ),0 ： x : 24x为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线在I上f X可导如f/ x 00则曲线y = f x是凹（凸）的，在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点f xi=O和f x不 存在的点例1、fxT设x试讨论f X的性态。f(x)6(x-1)F(X)= Ox=1, x=-2,f(x
9、尸 Q x=1x(-m ,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+OO )y+0-间+0+y-断-0+y单调增极大值单减单增拐单增上凸f(_2)=上凸上凸占八、下凸(1,27 40)渐近线 如lim f(x)二a 则称y二a为水平渐近线x_如 lim f(x)=心 则称x = x0为垂直渐近线X Jx0渐近线可能没有，或多条。2x 1例2、求y2渐近线(斜渐近线不讨论)(x-1)解：lim 2x 一12x； ：(x -1)=0y = 0为水平渐近线2x -1 lim 2 x 1 (x -1)2x =1垂直渐近线例2、曲线y二(x -1)(x 2)的渐近线有4条4 证明不等式(1) 利用中值
10、定理(R, L)；(2) 利用函数单调性；(3) 利用最值；(4) 引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式;(5) 利用函数凹凸性；(6 )利用泰勒公式。例1、当0 ： a b，试即证:-b b a1 In b-Ina 1 a证： 设y =1 nx，在a,b连续，(a,b)可导,由拉格朗日中值定理1In b -1n a (b - a)In b -In ab -aIn b -In ab a例2、设X 0，证明：In(1 x) ： x证：设 f (x) = X-In(1 x)f/(x)f (x)单增，当 x 0 f(x) f(0)=0x In (1 x)f (x) =ln(1 x)例3、证:f/(x)二丄1 x (1 x)2f(x)单增，当x 0ln(1x) x1 x2证明x - 1(1 x)f (x) f (00In x令 f (x)=x21 - In x (x 0)Jx) 令 f/(x) =0 得1X2驻点唯一,f /(X)二 X极小f (1)为最小值即 x 0 f (x) f12 2ln2 0例4、当0乞X岂1 P 1证明21亠岂xP 1 x P乞1设f X 二xP 1 X
