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1、课时规范练53直线与圆锥曲线课时规范练第81页一、选择题1.直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线方程是() A.y2=12xB.y2=8xC.y2=6xD.y2=4x答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由弦长结合抛物线定义可得|AB|=x1+x2+p=8.又由AB的中点到y轴的距离可得=2,代入上式可得p=4,故抛物线方程为y2=8x.2.已知任意kR,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)答案:C解
2、析:直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆=1内部即可.从而m1.又因为椭圆=1中m5,所以m的取值范围是1,5)(5,+).3.已知椭圆C的方程为=1(m0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为()A.2B.2C.8D.2答案:B解析:根据已知条件c=,则点在椭圆=1(m0)上,=1,可得m=2.4.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案:D解析:设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),因
3、为A,P在双曲线上,所以两式相减,得kPAkPB=,所以e2=.故e=.5.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为()A.2B.C.D.答案:C解析:设直线l的方程为y=x+t,代入+y2=1,消去y,得x2+2tx+t2-1=0.由题意得=(2t)2-5(t2-1)0,即t2b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在椭圆上,-,得=0,即=-, / AB的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2
4、=2.而=kAB=,.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为=1.故选D.二、填空题7.已知椭圆=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为.答案:+x2=1解析:椭圆=1的右顶点为A(1,0),b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,即1=2|x|=2b,a=2,则椭圆方程为+x2=1.8.已知点F(c,0)是双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点,若双曲线C的渐近线与圆F:(x-c)2+y2=c2相切,则双曲线C的离心率为.答案:解析:依题意得,圆心F(c,0)到双曲线C的渐近线的距离等于c,即有b=c,c2=2b2=
5、2(c2-a2),c2=2a2,即双曲线C的离心率为.9.若直线y=kx+2与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则实数k=.答案:0或解析:联立得k2x2+(4k-4)x+4=0.当k=0时,此方程有唯一的根,满足题意;当k0时,=(4k-4)2-16k2=-32k+16=0,k=.故k=0或k=均满足题意.三、解答题10.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,求AKF的面积.解:由抛物线的定义知|AF|=|AK|,又KAF=AFK=60,AFK是正三角形.联立方程组消去y,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.
6、由题意得A(3,2),AKF的边长为4,面积为42=4.11.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,),(0,-)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时,?此时|的值是多少?解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为a=2的椭圆,它的短半轴长b=1,故曲线C的方程为x2+=1.(2)由消去y并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0,=(2k)2-4(k2+4)(-3)=16(k2+3)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.由,得x
7、1x2+y1y2=0.而y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,于是x1x2+y1y2=-+1=.由=0,得k=,此时.当k=时,x1+x2=,x1x2=-.|=,而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=+4,所以|=.12.(2013重庆高考)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|=4. (1)求该椭圆的标准方程;(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PPQ的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.解:(1)
8、由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则=1.从而e2+=1.由e=得b2=8,从而a2=16.故该椭圆的标准方程为=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x+8=(x-2x0)2-+8(x-4,4).设P(x1,y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.由对称性知P(x1,-y1),故|PP|2=|2y1|,所以S=|2y1|x1-x0|=2|x0|=.当x0=时,PPQ的面积S取到最大值2.此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(,0),半径|QP|=,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6. 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
