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1、第五章 平面向量四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考试要求】（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形【考题分类】（一）选择题（共8题）1.（北京卷文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）； （B）（C）； （D）【答案】A 【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.2.（湖北卷理3）在中，a=15,b=10,A=60，则=A B C D 【答案】C【解析】由正弦定理得，解得，又因为，所以，故，所以,故选C。3.（湖南卷理6文7）在ABC中，角A，B，C
2、所对的边长分别为a,b,c，若C=120，,则A、ab B、ab C、a=b D、a与b的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。4. （江西卷理7）是等腰直角斜边上的三等分点，则ABC D【答案】D【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。5.（辽宁卷理8文8）平面上O,A,B三点不共线，设，则OAB的面积等于 (A) (B) (C) (D)
3、 6.（上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能 【答】（ ）（A）不能作出这样的三角形 （B）作出一个锐角三角形（C）作出一个直角三角形 （D）作出一个钝角三角形解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知由余弦定理得，所以角A为钝角，选D7.（上海卷文18）若的三个内角满足，则（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角C为钝角，选C8（天津卷理7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A=（A）
4、 （B） （C） （D）【答案】A【解析】由sinC=2sinB结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：，所以A=30，选A。【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。（二）填空题（共7题）1.（北京卷理10文10）在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。【答案】1。解析：，因此，故2.（广东卷理11）已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .【答案】1解：由A+C=2B及A+ B+ C=180知，B =60由正弦定理知，即由知，则，.3. （广东卷文13）已知a，b，
5、c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA= . 4（江苏卷13）在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则_【答案】4，考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：，= 4。（方法二），由正弦定理，得：上式=5 （全国新卷理16）在ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2，若ADC的面积为，则BAC=_【答案】 解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以6 （
6、全国新卷文16）在ABC中，D为BC边上一点，,.若,则BD=_【答案】 解析：设，在和中分别用余弦定理可解得7 （山东卷理15文15）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为_.【答案】【解析】由得，即，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。（三）解答题（共17题）1.（安徽卷理16）设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 ()求角的值；()若，求（其中）。2.（安徽卷文16）的面积是
7、30，内角所对边长分别为，。 ()求；()若，求的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑已知的面积是30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.3.（福建卷理19）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船
8、位于港口北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过小时与轮船相遇。（）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案
9、如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。4.（福建卷文21）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（I）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；5.（江苏卷17）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=
10、4m，仰角ABE=，ADE=该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，-最大解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。6.（辽宁卷理17）在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且（）求A的大
11、小；（）求的最大值.故当B=30时，sinB+sinC取得最大值1。 12分7.（辽宁卷文17）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，是判断的形状。解：（）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故 （）由（）得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。8.（全国卷理17文18）已知的内角，及其对边，满足，求内角9. （全国卷理17文17）中，为边上的一点，求【分析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。【解析】由 由已知得， 从而 . 由正弦定理得 , 所以 .10.（陕西卷理17
12、）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解 由题意知AB=海里，DAB=9060=30，DAB=9045=45，ADB=180（45+30）=105，在ADB中，有正弦定理得11.（陕西卷文17）在ABC中，已知B=45,D是BC边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos=,ADC=120, ADB=60在AB
13、D中，AD=10, B=45, ADB=60，由正弦定理得,AB=.12.（四川卷理19 II）已知ABC的面积，且，求.解析：13.（天津卷文17）在ABC中，。（）证明B=C：（）若=-，求sin的值。【命题意图】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.【解析】（）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C.（）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以。14.（浙江卷理18）)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值；()当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力
