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1、g3.1061空间直线与平面一.知识回顾：1 .直线和平面的位置关系（1） 直线在平面内（无数个公共点）；（2） 直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）一一用两分法进行两次分类.它们的图形分别可表示为如下， 符号分别可表示为a : , a A ,aH.-.2 .线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.aa推 理 模 式a 二：，b 二：, a/ b = a/ ：.3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.a相交， 直，我们 平面a
2、叫推理模式：a/,a二匚门一b= a/b .4 定义：如果一条直线I和一个平面 并且和平面a内的任意一条直线都垂 就说直线I和平面a互相垂直其中直线 做直线I的垂面+交点叫做垂足一直线I与平面a垂直记作：I丄a5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6 .直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那麽这两条直线平行7 .点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个 点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.8 .直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线 上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和
3、平面的距离.9 三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直10. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直PO I , O 三：兀 I推理模式： PAna=A =a丄AO .a4 a - AP注意：三垂线指 PA PQ AO都垂直a内的直线a其实质是：斜线 和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 要考虑a的位置，并注 意两定理交替使用-二基本训练：1 .已知直线a、b和平面:，那么a/b的一个必要不充分的条件是(D )(A) a/- , b ：(B) a ： , b -:(C)b 且 al
4、l i(D)a、b 与成等角2 . ：、表示平面，a、b表示直线，则a/八的一个充分条件是(D )(A)_ -，且 a _ ：(B)； -b，且 a/b(C) a /b，且 b(D) ： / 1，且 a -3 .在直四棱柱ABCDABCQ中，当底面四边形ABCD满足条件AC _ BD时， 有ACBP (注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)4. 设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下 若 PA _ BC， PB _ AC，贝U H 是UABC的垂心 若PA, PB, PC两两互相垂直，则 H是ABC的垂心 若.ABC =90； , H 是 AC 的中点，
5、贝U PA 二 PB 二 PC 若 PA =PB =PC，贝廿H 是 ABC的外心其中正确三.例题分析：例1.如图，已知 M、N、P、Q分别是空间四边形 ABCD勺边AB BCCD DA的中点.求证： 线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC /平面 MNP BD/平面MNP证明：(1) T M N是AB P、Q是CD DA的中点，BC的中点，A MIN/ ACBQ VMN= 1 AC./2DPQ/ CA PQ= 1 CAP2C MN/ QF, MN= QP, MNPQI平行四边形.口 MNPQ勺对角线MP NQ相交且互相平分.(2)由(1) , AC/ MN记平面 MNP即平面 MNPQ为a
6、 .显然 AC a . 否则，若AC a ,由 A a ,Ma ,得B a ；由 A a ,Qa ,得Da ,贝U A、B、C、Da ,与已知四边形 ABCD是空间四边形矛盾.又 MN a , AC/ a ,又 AC 二 a , AC/ a，即 AC/平面 MNP同理可证BD/平面MNP 例2四面体ABCD中，AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点且EF冷AC , .BDC =90：，求证： BD _ 平面 ACD证明：取CD的中点G，连结EG,FG , E,F分别为AD,BC的中点，1EG / AC2FG /- BD，又 AC =BD, FG =-AC ,在 EFG 中，EG2 FG- A
7、C EF2 2 2 2 EG _ FG , BD _ AC，又.BDC =90；，即 BD _ CD , ACCD =C BD _ 平面 ACD例 3.如图，直三棱柱 ABC-AG 中，ACB =90：, AC =1,CB = -、2，侧棱 AA = 1 , 侧面AAiBiB的两条对角线交于点 D , BCi的中点为M，求证：CD_平面BDMa1直三棱柱C1两条对角CD _ BD，连结A1证明： 连结 AC , I ACB=90,. BC_AC，在 ABC -ABQ 中CC1 丄 AC , AC 丄平面 CB1 ,. AA =1 , AC=1 AC =运, AC =BC , I D 是侧面 A
8、ABB 的 线的交点， D是AB与AB1的中点， b - BQ ,取B,C的中点O，连结DO，贝U DO/AC ,AC平面 CB1 , DO _ 平面 CB1 , CO 是 CD 在 平面BQ内的射影。在 BB1C中，taBBC = 在 BB1M 中，tan BMB1 =易2，二 BB1C=/BMB1 RC _ BM , CD _ BM , BM bD =B , CD _ 平面 BDM例4.如图，PA _矩形ABCD所在的平面，M ,N分别是AB,PC的中点,(1)求证：MN/ 平面 PAD ；(2)求证：MN _ CD(3)若.PDA ,求证:4MN _平面PCDDM四、作业同步练习 g3.
9、1061空间直线与平面1、已知直线a、b和平面:.,那么a/b的一个必要不充分的条件是( )(A) a.二，b.工(B) a 丨 *， b 丨芒(C) b二:工且a /y(D) a、b与成等角2、 ：、一：表示平面，a、b表示直线，则all 】的一个充分条件是( )(A)鳥.1 ；，且 a _ 1(B)以匕=b，且 a/b(C) a /b，且 b(D) ： / 1，且 a 3、 已知平面：平面- m,点P三:；直线n过点P,则n _ m是n _ 一：的()A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D非充分非必要条件4、已知直线a|平面，a与平面相距4cm,平面内直线 b与C相距6cm且a
10、|b,a 与b相距5cm，则a、c相距()A、5cm B 、97cm 或 5cmC 、 97cm D 、65cm或5cm5、在心 ABC 中，NACB =90,AB=8, NBAC =60,PC 丄面 ABC PC= 4, M 是 AB边上的一动点，则 PM的最小值为()A、2 7B、7C 、. 19D 、56、 在长方体ABCD-ABQD1中，经过其对角线 BD1的平面分别与棱 AA、 CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD1的形状为 .7、 空间四边形ABCD中, E、H分别是AB AD的中点，F、G分别是CBCD上的点，且 圧二色=2，若BD= 6cm,梯形EFGH勺面积为28cm2。
11、则CB CD 3平行线EH FG间的距离为8、 如图，.BAD =90的等腰直角三角形 ABD与正三角形 CBD所在平面互 相垂直，E是BC的中点，则AE与CD所成角的大小为 。9、图是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心 E、F,则线段EF的长是。A10、如图，A, B, C, D四点都在平面外，它们在：内的射影Al,Bi, Ci, D是平行四边形的四个顶点，在 B内的射影A2, B2, G, D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形.11、ABCD是四边形，点 P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点 G,过G和AP作平面交平面 BDM于 GH求证：AP|GH。pC
12、参考答案DDCBA 6、（平行四边形） 7、8 cm 8、459、2 210.证明： A, B, C D四点在内的射影A2, B2, C2, D2在一条直线上， A, B, C, D四点共面.又A, B, C D四点在内的射影 A1, B1, C1, D是平行四边形的四个顶点，平面 ABBA /平面 CDDC. AB, CD是平面 ABCD与平面 ABBA，平面 CDDQ的交线. AB/ CD.同理 AD/ BC.四边形ABCD是平行四边形.11、证明：设AC BD=O连0M因为M是PC的中点，所以0M平行AP, 所以AP平行平面 BDM 因为 AP=面APG且面 APG面BDM=GH 所以 AP|GH。
