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1、第 2 章 运算方法和运算器教学目的 : 学习运算方法与运算器的基础知识教学要求：1、掌握运算方法与运算器的基础知识教学重点：1、数据与文字的表示方法；2、定点运算方法与运算器组成；3、浮点运算方法与运算器组成。教学难点：1、定点运算方法与运算器组成；2、浮点运算方法与运算器组成。2.1 数据与文字的表示方法2.1.1 数据格式1 .定点数的表示方法定点数格式： 约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。包括：? 纯小数? 纯整数表示范围：设用 n+1 位表示一个定点数，如下：纯小数的表示范围为(XoXlX23Xn各位均为0时最小；各位均为1时最大)0X|2-n(2.1)纯整数的表示范围为0
2、X| n2- 1(2.2)2 .浮点数的表示方法( 1)浮点数的引出：电子的质量为9X10-28太阳的质量为2X1033( 2)浮点数的书写格式：任意一个十进制数N可以写成N=10e.M(2.3)同理，任意进制数N可以写成N=ReM (2.4)其中：? M:尾数，是一个纯小数。? e：称为浮点数的指数，是一个整数。? R:基数，对于二进计数制的机器是R=2。如：二进制数0.0001011表示为0.1011X2-3（ 3）浮点数的机器表示：一般的表示方法： IEEE754 标准， 32位浮点数（单精度）的标准格式：其中：? S:浮点数的符号位，1位，0表示正数，1表示负数。? M:尾数，23位，
3、用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。? E:阶码（8位）,阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。阶码的移码表示方式：将浮点数的指数真值e变成阶码E时，应将指数e加上一个固定的偏移值127(01111111)即=$+ 127。移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便， 因为阶码域值大者其指数值也大。上述标准格式所表示的浮点数X 的真值为：X=(-1)Sx (1.M)X2E-127例如：P18例1若浮点数x的二进制存储格式为(41360000)回 求其 32 位浮点数的十进制值。例如： P18 例 2 将数(20.59375) 10转换成 754 标准的 32 位浮点数的二进制
4、存储格式。 IEEE754 标准， 64 位浮点数(双精度)的标准格式：S： 1 位， E： 11 位， M ： 52位它所表示的浮点数X 的真值为：X=(-1)Sx (1.M)X2e-1023补充：IEEE754标准下浮点数的表示范围:无效数据NaNooOO最大绝对值最小绝对值机器0 032位单精度M 非 0, E=255M=0, E=2551.0 X2128=2128M 全 1, E=2541.11 X 2127=(2-2-23) X2127M=0, E=11.0 x2-126=2-126M=0, E=01.0X2-127=2-12764位双精度M 非 0, E=2047M=0, E=20
5、47 1.0X21024=21024M 全 1, E=20461.11X 21023=(2-2-52) X2127M=0, E=1 1.0X2-1022=2-1022M=0, E=0 1.0X2-1023=2-10233 .十进制数串的表示方法目前，大多数通用性较强的计算机都能直接处理十进制形式表示的 数据。十进制数串在计算机内主要有两种表示形式：(1)字符串形式字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。为了指明这样一个数，需要给出该数在主存中的起始地址和位数(串 的长度)。(2)压缩的十进制数串形式压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。说明：?它比前一种形式节省存储空间
6、，又便于直接完成十进制数的算 术运算，是广泛采用的较为理想的方法。?用压缩的十进制数串表示一个数 ，也要占用主存连续的多个字 节。?每个数位占用半个字节(即4个二进制位)，其值可用二十编码 (BCD码)或数字符的ASCII码的低4位表示。?符号位也占半个字节并放在最低数字位之后，其值选用四位编码 中的六种冗余状态中的有关值。例如：用12(C)表示正号用13(D)表示负号。在这种表示中，规定数位加符号位之和必须为偶数，当和不为偶数时，应在最高数字位之前补一个0工 2 31cl ( + 123)|0 | 1 2(-12)4 .1.2数的机器码表示机器数(机器码)：数值在机器中存储时的存储编码。5
7、.原码表示法定点小数：x0W 星 111 + | 1 xW 0定点整数：0W*21打原/L x = 2n x = 2 + 2n x W 0即：在真值前加一位符号位，正数为 0,负数为1。例如：X =+ 1001，则x原=01001X = 1001，则X原=11001特点：?方法简单，但运算复杂；当两数相加时，如果是同号则数值相加；如果是异号，则 要进行减法。而在进行减法时还要比较绝对值的大小，然后用 绝对值大的数减去绝对值小的数，最后还要给结果选择符号。?对于0,原码机器中往往有“ +0”、“ 0”之分。故有两种形式：+0原=00000卜0原=100002 .补码表示法定点小数：XOW x V
8、 11 补 = 2+ x =2 | x- IWxW。定点整数：f Xow x 2I %卜（x= 2+ x =2肝, 刈 -2nWxW0 即：?正数：补码等于原码?负数：补码的符号位为1,数值部分为其原码的数值部分各位取 反，然后在最低位加1。特点：?运算简单（减法转为加法运算）；? 0的表示方法唯一。3 .移码表不法|口移=2叶2WxV2即：X的移码为X的补码的符号位取反。 例如：x =+ 10101 时,x移= 110101x = 10101 时,x移= 001011 小结：?移码表示法主要用于表示浮点数的阶码。在IEEE754中的移码采用的是2n-1+X。?由于补码表示对加减法运算十分方便
9、，因此目前机器中广泛采 用补码表示法。在这类机器中，数用补码表示，补码存储，补 码运算。?也有些机器，数用原码进行存储和传送，运算时改用补码。?还有些机器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码运算。2.1.3 字符与字符串的表示方法ASCII 码2.1.4 汉字的表示方法1 .汉字的输入编码为了能直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机，就必须为汉字设计相应的输入编码方法。?数字编码（国标码）?拼音码?字形编码2 .汉字内码用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个 字节表示。3 .汉字字模码用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式。0国印加断FC酗飘双日加之比以图工1
10、汉字的字模点阵及编码4 .1.5 校验码常用的是奇/偶校验码。特点：能检测出奇数位出现错误的情况。但无法识别错误出现的位置。2.2 定点加法减法运算2.2.1 补码加法补码加法的公式：x# + y# = x + y 补（mod 2n+1）例如： P27 例 11，例122.2.2 补码减法补码减法的公式：x y 补=x 补一y 补=x 补+ y 补例如：P28 例 13，例142.2.3 溢出概念与检测方法溢出：在运算过程中，运算结果超出了计算机能表示的范围。包括：?正溢 （上溢）： 两个正数相加,结果大于机器所能表示的最大正数。?负溢 （下溢）： 两个负数相加,结果小于机器所能表示的最小负数
11、。例如： P28-29 例 15，例16检测方法：方法 1：变形补码（双符号位法）正数符号位为00，负数符号位为11例如： P28 例 17，例18注意：? 结果的两符号位如果相异，则表示产生了溢出。? 最高符号位始终为正确符号位。不采用教材P30 结论 1） 2）方法2：单符号位法? 最高有效位产生进位，而符号位无进位，则正溢。? 最高有效位无进位，而符号位产生进位，则负溢。2.2.4 基本的二进制加法/减法器1 .原理：X补 + Y补=X + Y补X Y补=X补 + 丫补=凶补Y补 12 . 一位全加器：真值表：输入 输出A、 q s ci+l00000011010101101001101
12、011001111逻辑表达式如下：Si Ai Bi CiCi 1 Ai Bi Bi Ci00010111Ci A A Bi (ABi)Ci可得，电路图为:记为:Cn+1CilI.n个一位全加器串联可构成多位加法器。Bn An Bn-1 Ail3. n位行波进位的补码加法/减法器-0M=0加M=1减0方式控制MB%t 由 Al 琢 Ao符号位掌握以下几点：?方式控制M如何实现加法/减法控制的。?如何判断溢出的。4. n位行波进位的补码加法/减法器的时间延迟延迟时间：从产生输入到得到稳定输出的最长时间。一般以一个“与非”门或“或非”门的时间延迟作为度量单位，记为 To“与非”门，“或非”门：T“异
13、或”门：3T求解n位行波进位的补码加法/减法器的时间延迟：Cn的延迟：C1=3T+3T+2T=6T+2TC2=C1+2T=6T+2T+2T同理：Cn=6T+2T*nSn-1的延迟：Sn-1=Cn-1+3T=6T+2T*(n-1)+3T=9T+2T*(n-1)n位行波进位的补码加法/减法器的时间延迟：考虑溢出：即为Cn的延迟+溢出判断异或门的延迟即 ta=9T+2T*n不考虑溢出：即为Cn延迟和Sn-1延迟中的最大者即 ta=9T+2T* (n-1)2.3定点乘法运算2.3.1 原码并行乘法1 .定点数乘法规则符号位：被乘数与乘数符号位的异或。数值部分：与十进制乘法类似。2 .不带符号位的阵列乘法器 设两个不带符号的二进制数A=am-i aiaoB=bn-1biboA*B:X)biH bj 二Baribo 11rgM 曲物 期52blaib晌 Il) I+ ) Srlbrl Mbirl 1,1 他T 汕MPirtrl P而-2 Pmh-3 PirlPg =P由此可知：?其中每个部分乘积项aibj由一个与门构成，故需要m*n个与门; ?结果P由乘法阵列完成；图2. 4 mxn位不带符号 的阵列乘法器逻辑框图可知，阵列乘法器逻辑电路图如下:”4瓦啊%均跖Hm*n 位不带符号的阵列乘法器逻辑图如下:乘法阵列的设计:以5位*5位为例:被乘数乘数被加数产
