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1、 方程的根与函数的零点 教学设计 两篇 一内容和内容解析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题这是函数与方程关系认识的第一步零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件如果函数在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，并
2、且满足f(a)f(b)0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断定理的逆命题不成立方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法“函数与方程思想”的理论基础可见，函数零点概念在中学数学
3、中具有核心地位本节的教学重点是，方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理二目标和目标解析通过本课教学，要求学生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间1能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；2正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能不止一个；3能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；4能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与
4、方程对应的函数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）三教学问题诊断分析学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会在高中阶段，已经学习了函数概念与性质，掌握了部分基本初等函数的图象与性质教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难学生学习的难点是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区
5、间教学过程中，通过引导学生通过探究，发现方程的根与函数零点的关系；而零点存在性定理的教学，则应引导学生观察函数图象与轴的交点的情况，来研究函数零点的情况，通过研究：函数图象不连续；，函数在区间上不单调；，函数在区间上单调，等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解四教学支持条件分析本节教学目标的实现，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与轴的交点的关系；另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器五教学过程设计1方程的根与相应函数图象的关系复习总结一元二次方程与相应函数与轴的交点及其坐标的关系：一元二次
6、方程根的个数图象与轴交点个数图象与轴交点坐标意图：回顾二次函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？在几何画板下展示如下函数的图象：、，比较函数图象与轴的交点和相应方程的根的关系。函数的图象与轴交点，即当，该方程有几个根，的图象与轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。2函数零点概念对于函数，把使的实数叫做函数的零点说明：函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值3方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，从而有些方程
7、问题可以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问题这正是函数与方程思想的基础4零点存在性定理问题二、观察图象（气温变化图）片段，根据该图象片段，将其补充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0？为什么？（假设气温是连续变化的）意图：通过类比得出零点存在性定理给出零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。在几何画板下结合函数的图象说明。问题四、若，函数在区间在上一定没有零点吗？问题五、若，函数在区间在上只有一个零点吗？可能有几个？问题六、时，增加
8、什么条件可确定函数在区间在上只有一个零点？在几何画板下结合函数的图象说明问题四、五、六。意图：通过四个问题使学生准确理解零点存在性定理5例题：求函数的零点的个数问题七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点问题八、该函数有几个零点？为什么？意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，并且结合函数性质，判断零点个数的方法六目标检测设计1.已知函数f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？为什么？x1234610f (x)20-5.5-2618-32.函数在区间-5，6上是否存在零点？若存在，有几个？3.利用函数图象判断下列方程有几个根（1）（2）
9、4指出下列函数零点所在的大致区间（1）（2）最后，师生共同小结（略）思考题：函数的零点在区间内有零点，如何求出这个零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做准备“方程的根与函数的零点”教学设计2 一、教学内容解析本节课的主要内容有函数零点的的概念、函数零点存在性判定定理。函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结
10、点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。函数零点的存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，由些需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如“变号”零点；定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一
11、般方程与相应的函数的情形。函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。二、教学目标解析1结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，从而了解函数的零点与方程根的联系。2结合函数图象，通过观察分析特殊函数的零点存在的特点，通过问题，理解连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，并能由此方法
12、判定函数在某个区间上存在零点。了解定理应用的前提条件，应用的局限性，及定理的准确结论。3通过具体实例，学生能结合函数的图象和性质进一步判断函数零点的个数。4在学习过程中，体验函数与方程思想及数形结合思想。三、教学问题诊断分析1通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一课时，有必要点明函数的核心地位，即说明函数与其他知识的联系及其在生活中的应用，
13、初步树立起函数应用的意识。并从此出发，通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。2对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，最终能自主地获得并确认该定理的结论。对于定理的条件和结论，学生往往考虑不够深入，需要教师通过具体的问题，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视。3函数的零点，体现了函数与方程之间的密切联系，教学中应遵循高中数学以函数为主线的这一原则进行联结，侧重在从函数的角度看方程，同时为二分法求方程的近似解作知识和思想上
14、的准备。四、教学过程设计(一)创设情景，揭示课题函数是中学数学的核心内容，它不仅在生活中有着大量的应用，与其他数学知识有着千丝万缕的联系，若能抓住这一联系，你就拥有了一把解决问题的金钥匙。案例1：周长为定值的矩形不妨取l=12问题1：求其面积的值： ，显然面积是一个关于x的一个二次多项式，用几何画板演示矩形的变化：问题2：求矩形面积的最大值？当x取不同值时，代数式的值也相应随之变化，你能从函数的角度审视其中的关系吗？问题3：能否使得矩形的面积为8？你是如何分析的？（1）实验演示的角度进行估计，拖动时难以恰好出现面积为8的情况；（2）解方程：x（6-x）=8（3）方程x（6-x）=8能否从函数的
15、角度来进行描述？问题4：一般地，对于一般的二次三项式，二次方程与二次函数，它们之间有何联系？结论：代数式的值就是相应的函数值；方程的根就是使相应函数值为0的x的值。更一般地方程f（x）=0的根，就是使函数值y=f（x）的函数值为0的x值，从函数的角度我们称之为零点。设计意图:本节课是函数应用的第一课，有必要让学生对函数的应用有所了解。从具体的问题出发,揭示函数与代数式、方程之间的内在联系，并从学生所熟悉的具体的二次函数，推广到一般的二次函数，再进一步推广到一般的函数。（二） 互动交流 研讨新知1函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点2对零点概念的理解案例2：观察图象问题1：此图象是否能表示函数？问题2：你能从中分析函数有哪些零点吗？问题3：从函数图象的角度，你能对函数的零点换一种说法吗？结论：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标
