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1、数学立体几何练习题 一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1如图，在正方体A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和上的点，A1M，则与平面1C1C的位置关系是( )A相交 B平行 C垂直 D不能确定2将正方形沿对角线折起，使平面平面，E是中点，则的大小为（ ）A. B. C. D.3，是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线与平面所成的角的余弦值为（ ）AB。C。D。4正方体A1B1C1D1中，E、F分别是1与1的中点，则直线与D1F所成角的余弦值是AB。C。D。5在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E、F分别
2、是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）A B C D6在正三棱柱1B1C1中，若2，A A1=1，则点A到平面A1的距离为（）ABCD7在正三棱柱1B1C1中，若1,则1与C1B所成的角的大小为（ ）B. 90 D. 758设E，F是正方体1的棱和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1成60角的对角线的数目是（）A0 B2 C4 D6二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分ABMDC9.在正方体A1B1C1D1中，M、N分别为棱1和1的中点，则，的值为.10如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点， A、B、M是顶点， 那么点M到截面的距离是 .
3、 11正四棱锥的所有棱长都相等，E为中点，则直线与截面所成的角为 12已知正三棱柱1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线与平面B1所成角的正弦值为 .13已知边长为的正三角形中，E、F分别为和的中点，面，且2，设平面过且与平行，则与平面间的距离为 14棱长都为2的直平行六面体A1B1C1D1中，60，则对角线A1C与侧面1D1所成角的余弦值为.三、 解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.xyzB1C1A1CBAMN15如图，直三棱柱，底面中，1，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点(1) 求的长； (2) 求的值； (3) 求证：16
4、如图，三棱锥P中， 平面，2，D是上一点，且平面 (1) 求证：平面； (2) 求异面直线与所成角的大小； (3)求二面角的大小的余弦值QPDCBA17如图所示，已知在矩形中，1，（a0），平面，且1（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，边上能存在点Q，使得（3）当边上有且仅有一个点Q使得时，求二面角的余弦值大小18. 如图，在底面是棱形的四棱锥中，点E在上，且:2:1CDBAPE(1) 证明 平面；(2) 求以为棱，与为面的二面角的大小；(3) 在棱上是否存在一点F，使平面证明你的结论19. 如图四棱锥P中，底面是平行四边形，平面，垂足为G，G在上
5、，且4，2，E是的中点(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求点D到平面的距离；PAGBCDFE(3)若F点是棱上一点，且，求的值20.已知四棱锥S的底面是正方形，底面，E是上的任意一点(1)求证：平面平面；(2)设4，2，求点A到平面的距离；(3)当的值为多少时，二面角BD的大小为120理科立体几何训练题（B）答案一、 选择题题号12345678答案BDDADBBC二、 填空题9. 10 11. 45 12 13 14 三、解答题15解析：以C为原点建立空间直角坐标系.xyzB1C1A1CBAMN(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）.(2) 依题意得A1（1，0，2），B（
6、0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.16解析： (1) 平面,平面，.平面，平面，又，平面 (2 由(I) 平面，2，又，可求得以B为原点，如图建立坐标系则（,），（0,0,0），C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)则+0+0=2 异面直线与所成的角为 （3）设平面的法向量为 (x，y，z)=(0, ,0)(,2)，则 即解得令 -1,得 (，0，-1) 由平面易知：平面平面，取的中点E，连接，则为平面的一个法向量，故平面的法向量也可取为 (1，1，0) =. 二面角的大小的余弦值为zQPDCBAyxMN17解析：（1）
7、以A为坐标原点，、分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示1，P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）（2）设点Q（1，x，0），则由，得x21=0显然当该方程有非负实数解时，边上才存在点Q，使得，故只须2-40因a0，故a的取值范围为a2（3）易见，当2时，上仅有一点满足题意，此时1，即Q为的中点取的中点M，过M作，垂足为N，连结、则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）D、N、P三点共线，又，且，故于是故，（资料来源：168）为所求二面角的平面角，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得；
8、（3）解 以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）由题设条件，相关各点的坐标为所以，设点F是棱上的点，其中，则令得解得，即时，亦即，F是的中点时，共面，又平面，所以当F是的中点时，平面19解析：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、PAGBCDFEz轴建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)， (0，2，4)。，与所成的余弦值为 (2)平面的单位法向量n(0，1，0) ，点D到平面的距离为n |. (3)设F(0，y，z)，则。，（资料来源：168）即， , 又，即(0，z4
9、)(0，2，4)， 1，故F(0，1) ，。20解析：(1)平面，平面，四边形是正方形， 平面，平面，平面平面.(2)设F，连结，则，2，4，2，3，S236，设点A到平面的距离为h，平面，ShS，6h224，h，即点A到平面的距离为.(3)设a，以A为原点，、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，(1,1，a)，(1,0，a)，(0,1，a)，再设平面、平面的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则y10，从而可取x1a，则z11，n1(a,0,1)，x20，从而可取y2a，则z21，n2(0，a,1)，n1，n2，要使二面角BD的大小为120，则，从而a1，即当1时，二面角BD的大小为120.
