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1、2009年秋季学期泛函分析课程试卷B卷（开卷考试）（适用专业：06级数学与应用数学）卷面总分100分一、填空题（本题共10分，每小题2分）1。如果度量空间X有一个可数的（），则称2。完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为（3。（X,di）,（Y,d2）是两个度量空间，如存在X到Y上的映射4。线性赋范空间Lpa,b,若fWLpa,b,则f的范数|f|p=（5。lP（1p）的共轲空间为（）。二、判断题（本题共10分，每小题2分）1。任何线性赋范空间的共轲空间是Banach空间。（）2。设Y是Hilbert空间X的闭子空间，则成立Y=丫口。（）3。若X是非空的完备度量空间，则X是第一纲集。（
2、）4。算子的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛。（）5。有界闭集一定是紧集。（）三、证明题（本题共60分）1。若x=（Xn）wlP,y=（yn）wlq,用Holder不等式证明Minkowski不等式成立。X是可分空间。T,满足（）。），则称（X,d1）和（Y,d2）等距同构。）。2。设T是线性赋范空间X到线性赋范空间Y的线性算子,则T为有界算子的充要条件为T是X上的连续算子。3。叙述并证明共鸣定理(一致有界性定理)4。叙述并证明压缩映射定理。5。 设 X 是 Hilbert 存在唯一的z w X , HZ。空间，f是X上的连续线性泛函，那么使对每个xX ,有f(x)=x,ZA,并且6。设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么对于每个xwX,存在唯一的ywM,使得|x-y|=d(x,M)o四、论述题（本题共20分）给出内积空间、线性赋范空间、度量空间的定义，并指出它们三者之间的关系第3页共3页
