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1、【典例精讲】答案题型一：二次函数的解析式的求法例1已知二次函数满足且的最大值是8，求此二次函数的解析式。解法一：运用二次函数的一般式设由题意得:解得 所求二次函数为解法二:设 抛物线对称轴为 又根据题意函数有最大值为 解之得解法三：运用双根式由已知的两根为故可设，又函数有最大值即 例2.设二次函数满足,且的两实数根平方和为10，图象过点（0，3）， 求的解析式.解 设 由知，该函数图象有关直线对称, 即 又图象过点，c=3 由得故题型二：二次函数最值或值域问题例3.已知函数在区间,上的最大值是2，求实数的值.解：,对称轴为 (1）当，即时,，由得,与矛盾,不合规定（2)当，即时,在,1上单调递
2、减,有，（)当,即时，在0,1上单调递增,有，综上,得例4.已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。解：由于是求闭区间上的最值，则最大值也许产生在抛物线的端点或顶点上。 即函数的最大值只能在或或处获得（1)令，解得,此时 故的最大值不也许在处获得。(）令,解得，此时（对称轴接近，开口向上)故当时获得最大值1(3）令,解得，要使在处获得最大值, 必需且,因此综上,所求的值为例5 已知函数，求函数在区间上的最大值解：（1）当即时,在上单调递增, 此时(2）当，即时，（）当时，在上单调递减。 此时综上可知 例.函数在闭区间上的最小值为(1）试写出的函数体现式（）求的最小值解：（1）当，即时,在上是
3、减函数当，即时,当时，在上是增函数 从而（2）当时,当时,当时，综上，的最小值为题型三:已知二次函数的解析式,求其单调区间;已知二次函数的某一单调区间，求参数的范畴,这两类是常用题型,核心是运用二次函数的图像。例7.已知二次函数在上递减,则的取值范畴是 解：对称轴为 要想在上递减,必需 因此题型四:二次函数的综合应用例8已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点,且 它在y轴上的截距为4,又对任意的均有。 (1)求二次函数的体现式； （2)若二次函数的图象都在直线的下方,求的取值范畴.解:(）解法一：的对称轴为又为二次函数，可设又当时，得令,得解法二:令二次函数的图像与轴交于且设二次函数又因此(2
4、）由条件知在上恒成立,即对恒成立例9已知二次函数(a、b为常数且a）满足条件：,且方程 有等根.（1）求的解析式;（2)设，试求在区间-1，1上的最小值；（3）与否存在实数m、n(mn)，使的定义域和值域分别是m，n和3m,3?如果存在， 求出m、n的值,若不存在，请阐明理由解：（1)的对称轴又有等根有等根.（2)其对称轴为,函数图象是开口向下的抛物线,故求最小值只需讨论区间两个端点-与1离对称轴的距离当，即时,为最小值;当,即时，为最小值.()假设存在这样的、n满足条件，即故二次函数在区间m,上是增函数,从而有mn,m=-,n=.例10.已知函数（1） 当时,恒成立，求的范畴（2） 当时,恒
5、成立，求的范畴解:(1)恒成立，即恒成立，只需，即（)当,即时, 由当，即时， 由当,即时,由,得综上得例.已知函数（1)若函数的值域为，求的值()若函数值为非负数,求函数的值域解:(1)函数的值域为()对一切函数值均为非负二次函数在上单调递减即的值域为【练习答案】5、已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范畴是 解：本题考察二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上，对称轴为,若使其在区间内是单调函数,则需所给区间在对称轴的同一侧，即.已知函数在闭区间上最大值为3,最小值为2,则的取值范畴为 解:，其对称轴为 当时,，故, 又，,.综上，.(江西文,）已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一种为正数，则实数的取值范畴是 解：若时,， ， 符合题意若时，在时,;在时,，需要在上恒成立.符合题意.若时,在时，；在时，需使在上恒成立,综上可知,.8、若函数,的图象有关对称,则 .解:函数的图象的对称轴为9.设二次函数的定义域为,则的值域中有 个整数.解: 函数的对称轴为 函数在定义域，上单调递增， ,10.已知函数.(1）若函数的最小值，且c=1, ()若,且在区间(0，恒成立,试求b的取值范畴.解:(1)由已知,且 解得（2),原命题等价于在(0，上恒成立，
