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1、线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V中，如果有n个向量1, , n满足:(1) 1, 2 , n线性无关。(2) V中任一向量 总可以由1, 2, , n线性表示。那么称V为n维(有限维)线性空间，n为V的维数，记为dim v n，并称 1, 2, n为线性空间V的一组基。如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设V X AX 0，A为数域P上m n矩阵，X为数域P上 n维向量，求V的维数和一组基。解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组 AX 0的任一基础 解系都是V的基，且V的维数为n r。例2数域P上全体形如0
2、 a的二阶方阵，对矩阵的加法及a b数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证1 , 0 0为线性空间V a I a,b p的一组100 1a b线性无关的向量组，且对V中任一元素0 a有a b0 a 0 10 0a b a 1 0 +b 0 1按定义0 1 , 0 0为v的一组基，V的维数为2。10 0 1方法二 在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的 线性无关向量组均作成线性空间的基。例3 假定Rx n是一切次数小于n的实系数多项式添上零多 项式所形成的线性空间，证明：1,x 1 , x 12,L , x 1n1构成Rxn的 基。证明 考察 k1 1 k2 x
3、1 L kn x 1 n 1 0由Xn 1的系数为0得kn 0，并代入上式可得xn 2的系数 kn 10依此类推便有 kn kn 1 L k1 0，故1, x 1 ,L , x 1 n1线性无关又R x的维数为n,于是1, x 1 ,L , x 1 n 1为Rx的基。n111n方法三 利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充 分必要条件是它们有相同的维数。例4设A 01，证明：由实数域上的矩阵 A的全体实系10数多项式f A组成的空间V f A | A 01与复数域C作为实10数域R上的线性空间V a bi a,b R同构，并非求它们的维数。证明 V 中任一多项式可记为 f A =aE b
4、A, a,b R ，建立 V 到 V 的如下映射 : 1 a1 b1if1 A a1E b1A a1,b1 R易证 是v到V上的单射，满射即一一映射。再设 2 a2 b2i, a2,b2 R,K R ，则有12a1a2b1b2ia1a2Eb1b2Ak 1ka1 kb1ika1E ka1A kx1故 是V到V的同构映射，所以V到V同构另外，易证V的一个基为1, i，故dim V 2QV ; VdimV 2x 2, 1 x 3也方法四 利用以下结论确定空间的基：设 1, 2,L , n 与 1,2,L , n是n维线性空间V中两组向量，已知1 , 2,L , n 可由 1 , 2 ,L ,n线性表
5、出：1 a11 1 a21 2 Lan1 n2 a12 1 a22 2 Lan2 nna1n 1a2n 2 Lann na11 a12 La1n令 A a21 a22 La2nan1an2Lann如果 1, 2,L , n 为 V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，1, 2,L , n也是V的一组基。例5已知l,x, x2,x3是px4的一组基，证明1,1 x, 1是 p x 4的一组基。证明 因为11 10 x 0 x20 x3231 x 1 11 x 0 x Ox1x 2112 x1 x20x31x 31 13 x3 x21x311110123A0 0 120 0 0 1所以1,1 x,
6、1 x 2 , 1 x 也为p x 4的一组基。方法五 如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量 组一定为此空间的一组基。例6设R x 2表示次数不超过 2的一切实系数一元多项式添 上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明x2 x,x2 x,x 1为这空间的一组基。证明 k x2 x k2 x2 x k3 x 1 0则 k1 k2 0k? kg 0k30解得 k3 k2 k1 0于是x2 x, x2 x,x 1线性无关，它们皆可由x2,x,1线性表示， 因此x2 x,x2 x, x 1与x2,x,1等价，从而R x 2中任意多项式皆可由 x2 x,x2 x, x 1 线性表示，故 x2
7、x, x2 x,x 1 为 R x 2 的基。方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个m n矩阵A，总可以通过行初等变换和列 变换它为标准阶梯矩阵：Ir B，其中Ir表示r阶单位矩阵。0 0依据这两个定理，我们可以很方便地求出Vi I V2的一个基，从而确定了维数。例7设V L 1, 2 M L 1，2是数域F上四维线性空间的子 空间，且 11,2,1,0 ,21,1,1,1 ； 12, 1,0,1 , 21, 1,3,7 .求 ViI V2的一个基与维数。解若 r V1 I V2，则存在 X1,X2, y1, y2 F，使r
8、x-i 1x22y1 1 y2 2(1)即有 X1 1 X2 2 y1 1 y2 2 0 （2）若1, 2, 1, 2线性无关，（2）仅当x X2 y1 y2 0时成立那么V1I V2是零子空间，因而没有基，此时维数为0 , V1 V2是直和若存在不全为零的数X1,X2,y1,y2使（2）成立，则V1IV2有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r以1, 2, 1, 2为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶梯形矩阵A112110 01211101 04A1103行初等变换c0 1A03011700 0021423 1r1423 125,2,3,4是yi V2的一个基dim
9、V1 IV21同时知，i, 2是V的一个基，dim Vi 2i, 2 是V2 的一个基，dim V2 2i, 2, i, 2是V V2 的一个基，dim Vi V2 秩 A =3方法七在线性空间V中任取一向量，将其表成线性空间V一线性无关向量组的线性组合的形式，必要的话需说明向量组 是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求Vi L（ 1， 2）与V2 L（ 1， 2）的交的基和维数。设 i （121,0）i （2，1,0,1）2 （ 1,1,1,1），2 （1，1,3,7）解 任取V1I V2，贝UV X1 1 X22， 且V2，y1 1 y2 2，捲1 X2 2 y1 1 y
10、 （注：此时a虽然已表成一线性组合的 形式，但它仅仅是在y、V2中的表示，并非本题所求，即要在空 间V1 V2中将a线性表出）X11X22y11y20，求x1,x2, y1,y2x1 x2 2y1 y2 02x1 x2 y1 y2 0x1 x23y2 0X yi 7 y20解得 (x1,x2, y1,y2) (k, 4k, 3k,k)k( 1 4 2) k( 3 12) k(5, 2,3, 4)故 V1 I V2 是一维的， 基是 (5, 2,3,4)易知 (5, 2,3,4) 是非零向量，是线性无关的方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果 V1,V2 是有限维线性空间V
11、的两个子空间，那么 dimV1dimV2dimV1V2dimV1IV2例 9 已知 13, 1,2,1 , 20,1,0,211,0,1,3 , 22, 3,1, 6 求由向量1, 2生成的p4的子空间Vi L 1, 2与向量1, 2生成的子空 间 V2 L 1, 2 的交与和空间的维数的一组基。解 因为 V1 V2 L 12, 1, 2 ，对以 1, 2, 1,2为列的矩阵施行30120000行初等变换： A 1 1031 1 03B20110 0 1112360003秩 A 秩 B 3 ，所以V1V2 的维数是 3且 1, 2, 1, 2 为极大线性无关组，故它们是 V1 V2 的一组基。
12、又由1, 2线性无关知Vi的维数为2 ,同理V2的维数也为2 ,由 维数公式知V I V2的维数为2 23 1。从矩阵B易知121 2 2,故123, 3,2, 3是VV公有的非零向量，所以它是交空间 ViI V2的一组基。方法九 由替换定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组1, 2丄,r线性无关，并且1, 2,L , r可由向量组1, 2丄,s线性表出，那么1 r s2必要时可适当对1, 2,L , s中的向量重新编号，使得用1, 2,L , r替换1, 2,L , r后所得到的向量组1, 2,L , r, r 1,L , s与向量组1, 2,L , s等价。特别，当r s时，向量组1,
13、2,L , s与向量组1, 2,L , s等价。 例10已知向量组12,0,1,3 , 20,3,1,0 , 31,2,0,2 , 42,6,3,3 , 设它们是向 量组1, 2, 3的线性组合，又设向量组 At , L ,与向量组1, 2, 3等价，试求LOL ,咕生成的空间的交空间的基和维数。201304110701解031003100310120212021202263306200000显然1,23,4线性相关，1, 2,3线性无关由替换定理知1, 2, 3与1, 2, 3等价，进而知 九血丄，扁与1, 2, 3等价于是 L r1,r2,L ,rm 维数为 3，基为 1, 2, 3;L 1, 2, 4 维数为 2，基12因此， L 1, 2, 4 L r1,r2,L ,rm故 L 1, 2, 4 与 L r1,r2,L ,rm 的交空间的基为 1, 2,维数为 2最新文件 仅供参考 已改成 word 文本 。 方便更改
