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1、精品文档第一章事件与概率1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。（1）10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。（2）个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，（i ）得白球，（ii ）得红球。解（1）记9个合格品分别为正-正2,正9，记不合格为次，则（ 正 1, 正 2）（正 1，正 3），正 1，正 9）（正 1，次）（正 2，正 3）（正 2，正 4 ），（正 2， 正 9）（正 2，次 ），（正3，正4）,，（正3，正9），（正3，次），（正8，正9），（正8，次），（正9，次）A （正，次）,（正 2，次），（正 9，次）（2）记2个白
2、球分别为1，2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，D，r3，5。则 1，2，b1，b2，b3，r1， d，r3，扁（i ） A 1，2 （ i） B r1，d，3， m1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。（1）叙述ABC的意义。（2）在什么条件下ABC C成立？（3）什么时候关系式C B是正确的？（4）什么时候A B成立？解（1）事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。（2）ABC C等价于C AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。（3）当全系运动员都是三年级学生时。（4）当全系女生都在
3、三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了 n个零件，以事件 A表示他生产的第i个零件是合格品（1 i n）。用A表示下列事件:（1）没有一个零件是不合格品;（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅仅只有一个零件是不合格品;（4）至少有两个零件是不合格品。解（1）A ； (2)i 1A( Aj)；i 1j 1（4）原事件即“至少有两个零件是合格品”n，可表示为AiAj ；ij 11.4证明下列各式:(1) A B B A; (2) ABBA (3) (A B) C A (B C) ; (4) (A B) C A (B C)(A B) C (A C)(BC) 证明（1） （ 4）显然
4、，1.5在分别写有 2、4、6、得分数为既约分数的概率。(5)7、AAii 1i 1和（6）的证法分别类似于课文第10 12页（1.5 ）式和（1.6）式的证法。& 11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所解样本点总数为A；8所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含A 2a3 a5 2 3 6个样本点。P(A)8 71.6有五条线段， 概率。2 3 69- 。14长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角
5、形的解样本点总数为510。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是33、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A “所取三条线段能构成一个三角形”包含33个样本点， 于是101.7 一个小孩用13个字母 代A,代C, E,H,I,I,M ,M ,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“ MATHEMATICIAN词的概率为多大?显然样本点总数为13!,事件A “恰好组成“ MATHEMATICIAN包含3 !2 ! 2 !2 !个样本点。所以P(A)3!2!2!2!4813!13!在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好
6、可以相互吃掉的概率。1.8解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 10 1 89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9 个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为p（a） 89891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。8 17解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含 A7个样本点，于7是 P（A
7、） 。91.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从 00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中 有数字8”的概率为多大？949 4解用A表示“牌照号码中有数字 8”，显然P（A）一，所以10000 10P(A) 1- P(A)941 ioooo 14910i.ii任取一个正数，求下列事件的概率：(1) 该数的平方的末位数字是 1; (2)该数的四次方的末位数字是1; (3)该数的立方的最后两位数字都是1;1解(1)答案为丄。542(2) 当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为 -105102个样本点。用事件A表(3) 一个正整数的立
8、方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含示“该数的立方的最后两位数字都是1 ”，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为 a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1,必须a 7，因此A所包含的样本点只有 71这一点，于是1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。 然后请另一个人把 6个头两两相接，6个尾也两两相接。 求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。解(1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，
9、故对头而言有5 3 1种接法，同样对尾也有 5 3 1种接法，所以样本点总数为(5 3 1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5 3 1种连接法，而对尾而言，任取一尾,它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为42。所以A包含的样本点数为(5 3 1)(4 2)，于是P(A)815(5 3 1)(4 2)2(5 3 1)(2) 2n根草的情形和(1)类似得1.13把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中(即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时
10、也称球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个N n k 2球的概率为n k， 0k nN n 1nNn 1(2)恰好有m个盒的概率为m N m 1 ，N n m N 1N n 1nm j 1 N m n j 1(3)指定的m个盒中正好有j个球的概率为m 1n j， 1 m N ,0 j NN n 1n解略。1.14某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。3解所求概率为P(A)-5n 111.15在 ABC中任取一点P，证明 ABP与 ABC的面积之比大于的概率为-2 nnCAB之内时 A
11、BP与 ABC的面积之比大于n 1D，因此所求概率n1解截取CD CD，当且仅当点P落入n为 P(A)A BC有面积ABC的面积2CD2CD1 22cdn2CD两小时,解1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位， 求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1小时与y 2,0 y x 1。因此所求概率为2 1 2 1 2242232222P(A) 2 0.1212421.17在线段 AB上任取三点x, x2, x3，求:（1） X2位于X1与X3之间的概率。AX1,
12、 AX2, AX3能构成一个三角形的概率。1P(B)解(1) P(A)-31.18在平面上画有间隔为 d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为 a,b,c（均小于d ）, 求三角形与平行线相交的概率。解 分别用A,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(AJP(A2) 0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac, bc与平行线相交，则 P(A3)P(AabAacAbc).显然 P ( A a )P(Aab)RAc) ,Pf)P(Aab)P(Abc),P(AJP(
13、Aac)P(Abc) 所以1 2 1P(A3)- P(Aa) P(Ab)P(Ac)(a b c)(a b c)2 2dd（用例1.12的结果）1.19己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1的线段内随机投点。则事件 A “该点命中AB的中点” 的概率等于零，但 A不是不可能事件。1.20甲、乙两人从装有 a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直 到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。b个解1表示白，2表示黑白，3
14、表示黑黑白，b r表示黑 黑白,则样本空间P( 2)b 1，并且 P( 1)P( 3)a2) a b (i 1)P( i)代”十刀b!a b)(aa b a b 1 a b (i甲取胜的概率为P( 1) +P(3) + P(5) + 乙取胜的概率为P( 2)+ P(4) +P(6) + 1.21设事件代B及AB的概率分别为p、q 及 r ,求 P(AB),解由P(A B)P(A)P(B)P(AB)得P(AB) P(A)P(B)P(AB) pq rP(AB) P(AAB)P(A)P(AB)r q , P(AB) r pP(AB) P(AB) 1P(AB) 1rb 1)aP(AB) , P(AB) , P(AB)P( b 1)石1.22设几、A2为两个随机事件
