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1、最新高考数学复习资料第2讲空间点、线、面的位置关系考纲展示命题探究1平面的基本性质2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类 (2)平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补(4)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角范围：.3空间直线、平面的位置关系注意点对异面直线定义的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直
2、线(3)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线.1思维辨析(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(6)没有公共点的两条直线是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能答案D解析当a，
3、b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交3如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，AA1a，BAB1B1A1C130，则AB与A1C1所成的角为_，AA1与B1C所成的角为_答案3045解析ABA1B1，B1A1C1是AB与A1C1所成的角，AB与A1C1所成的角为30.AA1BB1，BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1a，AB1A1C12a，ABa，B1C1BCa.四边形BB1C1C是正方形，BB1C45.考法综述点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容，高考既有单独考查直线和平面位置关系的题目，也有以多面体为载体考查线面位置关系的题目高考
4、试题对点、线、面的位置关系的考查以理解和掌握为主，试题一般为中等难度命题法点、线、面位置关系的判断及异面直线所成的角典例(1)已知矩形ABCD中，AB1，BC.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直(2) 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：三角形PCD的面积；异面直线BC与AE所成的角的大小解析
5、(1)如图作AMBD，垂足为M；作CNBD垂足为N，若存在某个位置，使得ACBD，则BD平面AMC，BD平面ANC，矛盾，故A错误；当翻折到点A在平面BCD上的射影H落在BC上时，由CDCB，CDAH，所以CDABH，所以CDAB，故B项正确，D项错误；若存在某个位置使得ADBC，则再由CDCB得CB平面ACD，所以ACB90，这样|AB|BC|，而AB1，BC，矛盾，故C项错误(2)因为PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，所以CD平面PAD.从而CDPD.因为PD2，CD2，所以三角形PCD的面积为222.解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则点B(2,0,0)，C(2，2，0
6、)，E(1，1)则(1，1)，(0,2，0)设与的夹角为，则cos，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.解法二：取PB的中点F，连接EF，AF, 则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由EF，AF，AE2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.答案(1)B(2)见解析【解题法】异面直线的判定及其所成角的求法(1)判定空间两条直线是异面直线的方法判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面(2)求解
7、异面直线所成角的常用方法有两种平移法a平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解(常结合余弦定理求解)b因为异面直线所成角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角向量法a向量法求异面直线所成角关键在于找出两异面直线的方向向量，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示，求两向量的数量积b设异面直线a，b所成的角为，则cos，其中a，b分别是直线a，b的方向向量两向量的夹角范围是0，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分1若空间中n个不同的
8、点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5答案B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.2若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由“m且lm”推出“l或l”，但由“m且l”可推出“lm”，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选B.3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若
9、m，mn，则n答案B解析A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n，D选项也可以n或n与斜交根据线面垂直的性质可知选B.4直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ即为所求，设BCCACC12，则AQ，AN，QN，cosANQ，故选C.解法二：如图，以点C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BCCACC11，可知点A(0,1,1)，N，B(1,0,1)，
10、M.，.cos，.根据与的夹角及AN与BM所成角的关系可知，BM与AN所成角的余弦值为.5如图，在三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如下图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则MEAN， 则异面直线AN，CM所成的角即为EMC.由题可知CN1，AN2，ME.又CM2，DN2，NE，CE，则cosCME.6. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析取BF的
11、中点N，连接MN，EN，则ENAF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角在EMN中，当点M与点P重合时，EMAF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cos越来越大故当点M与点Q重合时，cos取最大值设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在EQN中，由余弦定理，得cosQEN，所以cos的最大值为.7如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解(1)证明：连接BD，设BDACG，连接EG
12、，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所
13、成角的余弦值为.8如下图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值解(1)证明：由PDPC4知，PDC是等腰三角形，而E是底边CD的中点，故PECD.又平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，故PE平面ABCD，又FG平面ABCD，故PEFG.(2)平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，ADCD，AD平面PDC，而PD平面PDC，故ADPD，故PDC为二面角PADC的平面角在RtPDE中，PE，tanPDC，故二面角PADC的正切值是.(3)连接AC.由AF2FB，CG2GB知，F，G分别是AB，BC且靠近点B的三等分点，从而FGAC，PAC为直线PA与直线FG所成的角在RtADP中，AP5.在RtADC中，AC3.在PAC中，由余弦定理知，cosPAC，故直线PA与直线FG所成角的余弦值是.已知在空间四边形ABCD中，ABCD3
