概率统计习题课

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1、一 随机事件及其概率1. 为三个随机事件，事件“不同时发生”可表示为 ，事件“都不发生”可表示为 ，事件“至少发生两件”可表示为 。2从1，2，3，4中随机取出两个数，则组成的两位数是奇数的概率是 ， 事件“其中一个数是另一个数的两倍”的概率是 。3. 有个球，随机地放在个盒子中()，则某指定的个盒子中各有一球的概率为_ _ _。4把3个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子(每个盒子能容纳多个球)，则三个盒子各放入一球的概率是_。5. 设为随机事件，, ,则_ _。6事件发生必然导致事件发生，且，则_。7. 盒中有6个大小相同的球，4个黑球2个白球，甲乙丙三人先后从盒中各任取一球，取后不放回，

2、则至少有一人取到白球的概率为_。8. 甲乙两个盒子，甲盒中有2个白球1个黑球，乙盒中有1个白球2个黑球，从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒中任取一球，取出白球的概率是 。9某球员进行投篮练习，设各次进球与否相互独立，且每次进球的概率相同，已知他三次投篮至少投中一次的概率是0.875，则他的投篮命中率是 。10. 将一枚硬币抛掷3次，观察出现正面（记为H）还是反面（记为T），事件=恰有一次出现正面，=至少有一次出现正面，以集合的形式写出试验的样本空间和事件，并求11. 已知，在下列两种情况下分别计算和：(1) 如果事件互不相容； (2) 如果事件相互独立。12. 盒中有3个黑球7个白球，从中任取

3、一球，不放回，再任取一球，(1)若第一次取出的是白球，求第二次取出白球的概率 (2) 两次都取出白球的概率 (3) 第二次取出白球的概率 (4) 若第二次取出的是白球，求第一次取出白球的概率。二 一维随机变量1向平面区域内随机投3个点，则3个点中恰有2个点落在第一象限内的概率是 。2设随机变量服从二项分布，且， 。3设圆形区域的半径服从区间0,2上的均匀分布，则圆形区域的面积的数学期望_。4设随机变量的密度函数对，有 , 是常数，则 ， 。5设随机变量的密度函数，则 。6抽样调查结果表明：某地区考生的外语成绩服从正态分布，平均成绩，已知80分以上者占总人数的20%，则考生的外语成绩在64分至8

4、0分之间的概率是 。7一袋中装有六只球，编号是1,2,3,4,5,6，从中随机取出三个球，表示取出的球的最小号码，求的分布律，数学期望和方差。8. 试验只有两种结果：和，且，试验独立重复地进行，(1) 表示事件首次发生时的试验次数，求的分布律和数学期望； (2) 表示事件第次发生时的试验次数(是任一正整数), 求的分布律和数学期望。9. 盒中有3个黑球2个白球，每次从中任取一球，直到取到白球为止，表示抽取次数，(1) 如果每次取出的球不放回，求的分布律和数学期望；(2) 如果每次取出的球放回盒中，求的分布律和数学期望。10. 设连续型随机变量的密度函数，(1) 确定常数 (2) 计算 (3)

5、求11. 设随机变量的分布函数是，求(1) 常数 (2)的概率密度（3）12. 乘客在某公交车站等车的时间服从正态分布，（单位：分钟）(1) 求乘客的等车时间超过11分钟的概率(,)(2) 若一小时内有100位乘客在此车站等车，其中等车时间超过11分钟的人数是，写出的分布律，并求一小时内至少有两人等车时间超过11分钟的概率。13. 在某次200米游泳比赛中，运动员的成绩（单位：秒），(1)成绩位于前40%的运动员直接晋级，则用时低于多少秒(设为)的运动员得以晋级？ (2)成绩位于后20%的运动员直接淘汰，则用时超过多少秒(设为)的运动员被淘汰？()14. 某人家住市区东郊，工作单位在西郊，上班

6、有两条路线可选择：一条直穿市区，但可能塞车，所需时间(单位:分钟)服从正态分布；另一条环城高架，路程远但很少塞车，所需时间服从正态分布，为保证以较大概率上班不迟到，问：(1) 如果上班前50分钟出发，应选哪条路线？(2) 如果上班前45分钟出发，应选哪条路线？15. 设随机变量服从0,1上的均匀分布，证明：(1) 服从上的均匀分布；(2) 服从参数为1的指数分布。16. 射箭比赛中的圆靶半径为0.5米, 设击中靶上任一同心圆内的概率与该圆的面积成正比,并设箭支都能中靶, (1) 以表示箭支落点与圆心的距离，证明：的分布函数； (2) 如图，从圆心起每0.1米为一环，表示射箭得到的环数，求的分布

7、律和数学期望。5 4 3 2 117. (1) 设随机变量相互独立，都服从参数为的泊松分布， 证明：服从参数为的泊松分布；(2) 假设在一分钟内进入商场的顾客数服从参数为的泊松分布，相邻两位顾客进入商场的间隔时间是，求的分布函数和密度函数。(提示：由(1)可知，在分钟内进入商场的顾客数服从参数为的泊松分布)三 二维随机变量1.设二维随机变量的联合分布函数，则其联合密度函数 。2.设二维随机变量的联合密度, 则 ， 。3. 设二维随机变量的联合密度，则常数 4. 已知随机变量和的分布律分别为且，则 。5. 设随机变量和相互独立，具有相同的分布律：则 ， 。6. 设随机变量，相互独立，则服从的分布

8、是 。(需注明参数) 7甲乙两人约在7点到8点之间在车站碰头，设两人的到达时刻是随机的，记为，(1) 写出的联合密度函数； (2) 在7:15，7:30，7:45，8:00各有一班车到站，如果两人见车就乘，求他们能乘坐同一班车的概率，如果先到者最多等一班车，求他们能乘坐同一班车的概率。8设二维随机变量的联合密度函数为求 (1) 常数；(2) 关于和的边缘密度函数，并判断和是否相互独立？(3) 求9. 在区间(0,1)上随机取两个数和，(1)写出的联合密度函数； (2) 求两数之和小于6/5的概率。10. 盒中有5个大小相同的球，其中1个黑球2个白球2个红球，从中任取两个球，和分别表示取出的白球

9、数和红球数，(1) 求的联合分布律与边缘分布律； (2) 求取出的白球数和红球数的数学期望。四 大数定律与中心极限定理1. 设是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件发生的概率，则对任意正数，有 。2. 测量一个零件的长度，测量次，得到一组测量值，设零件的实际长度是a，则对任意正数，有 。3. 设是来自于正态总体的样本，则对任意正数， 。4. 设是相互独立的随机变量序列，存在，且，则对任意正数， 5. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最近的整数，设所有的舍入误差都服从-0.5,0.5上的均匀分布且相互独立。 (1) 写出的密度函数，数学期望和方差；(2) 计算器将1200个数相加，用中心极限

10、定理计算误差总和的绝对值小于10的概率。()6. 抛掷一枚均匀硬币100次，其中正面向上的次数是，(1)写出的分布律，数学期望和方差 (2) 用中心极限定理计算正面向上的频率在0.45到0.55之间的概率()7. 从区间中任取一个实数,称为随机数，(1) 证明：两个独立随机数的和的密度函数是， (2) 将1200个独立随机数相加，用中心极限定理计算总和在590到610之间的概率()五 数理统计1. 某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料，则样本均值 。日售出台数X2 3 4 5 6合计天数20 30 10 25 151002. 设是从总体中随机抽取的容量的一组样本观测值，算得数据，则样本

11、标准差 。3. 设是来自于正态总体的样本, 样本均值，样本方差，则= ， 。4. 设总体服从参数为的泊松分布，是来自的样本,是样本均值，则的最大似然估计量为 ，的矩估计量为 。5. 设盒内有黑,白两种球，白球所占比例是 , 从盒中随机取一球，然后放回，这样取10次，发现取到6个白球4个黑球，(1) 白球记为1，黑球记为0，写出总体的分布，并求出白球比例的矩估计值； (2) 用最大似然估计法，求出白球比例的最大似然估计值。6. 公交公司随机调查了20位乘客的等车时间，得到数据如下（单位：分钟）：5, 8, 2, 1, 10, 12, 4, 5, 6, 11, 7, 13, 15, 9, 4, 1

12、2, 14, 15, 3, 10设乘客的等车时间服从上的均匀分布，(1) 写出总体的密度函数，并求t的矩估计值； (2) 用最大似然估计法，求t的最大似然估计值。7. 设总体服从几何分布, 即，其中未知参数，是一组样本观测值，求的矩估计和最大似然估计。8. 设总体的密度函数为，其中未知参数，设是来自于总体的一组样本，(1) 求的矩估计量；(2) 求的最大似然估计量。9.设是来自于总体的样本，证明：与 分别是的无偏估计，即，10. 设是来自于总体的样本，(1)在什么条件下， 是总体期望的无偏估计量？是任意常数，(2) 在形如的估计量中，最有效的无偏估计是哪个？ 为调查某脱脂奶粉的脂肪含量，现随机抽取36罐奶粉进行试验，得到其平均脂肪含量(克)，设脂肪含量服从正态分布，(1) 求其平均脂肪含量的置信度为0.95的置信区间； (2) 奶粉包装罐上标明“脂肪含量8.8克”，可否认为该脱脂奶粉脂肪含量显著偏高？设显著性水平为0.05。从今年的新生儿中随机地抽取25个，测得其平均体重3160克，样本标准差300克，假设新生儿体重服从正态分布，(1) 求新生儿平均体重的置信度为0.95的置信区间；(2) 根据过去统计资料，新生儿平均体重为3010克，问现在的新生儿体重与过去有无显著差异? 设显著性水平为0.05。10