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1、第二章习题课1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证明：设从镜MMM,初始坐标为，往返一次后坐标变为=T,往返两次后坐标变为=TT而对称共焦腔，R=R=L则A=1-=-1 B=2L=0C=-=0 D=-=-1所以，T=故，= 即，两次往返后自行闭合。2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔的稳定性条件为0gg1,其中g=1- ,g=1-（a对平凹腔：R=,则g=1,01-1，即0LR(b)对双凹腔：0gg1, 01，或且(c)对凹凸腔：R=,R=-,01，且3激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率
2、半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的 由01，得 则4.图2.1所示三镜环形腔，已知,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形强为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（）中的，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，为光轴与球面镜法线的夹角。解:透镜序列图为该三镜环形腔的往返矩阵为：由稳定腔的条件：，得：或。若为子午光线，由则或若为弧矢光线，由，则或5有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，L30cm，d=2a=
3、0.12cm,镜的反射率为，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择，小孔边长应为多大？试根据图作一大略的估计、氦氖增益由公式计算。解: 菲涅耳数增益为模衍射损耗为，模衍射损耗为，总损耗为0.043，增益大于损耗;模衍射损耗为，总损耗为0.043，增益大于损耗;衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为 因此不能作单模运转为实现单横模运转所加小孔光阑边长为：6试求出方形镜共焦腔面上模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：，由得节线位置：，因此节线是等间距分布的。7求圆形镜共焦腔和模在镜面上光斑的节线位置。解：模的节线
4、位置由缔合拉盖尔多项式：由得 ，又则模的节线位置为或sin20，即： 8.今有一球面腔，L80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数。解：g=1-=0.47 g=1-=1.8 ，gg=0.846 即：0 gg1，所以该腔为稳定腔。由公式（）Z=-1.31mZ=-0.15mf=0.25mf=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L50cm，R2m，2a1cm，。试计算、各为多少。解：， ， , , 11今有一平面镜和一R=1m的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L的关系曲线。解：，当时，最小.12推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达
5、式，作出：（1）当R100cm时，随L而变化的曲线；（2）当L100cm时，随R而变化的曲线。解：， （1）(2)13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的R2m，腔长L1m。试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径的大小和位置、该高斯光束的f及的大小。解： 即：14某高斯光束腰斑大小为，。求与束腰相距、远处的光斑半径及波前曲率半径。解：，其中，： ，： ， ：，15若已知某高斯光束之，。求束腰处的参数值，与束腰相距处的参数值，以及在与束腰相距无限远处的值。解： 束腰处：16某高斯光束，。今用的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为、时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。解： : , : , : ,
6、 : , 可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。17激光器输出光，用一的凸透镜聚焦，求欲得到及时透镜应放在什么位置。解： （）(1) (2) 18如图2.6光学系统，入射光，求及。解： 19某高斯光束，。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜，口径为；副镜为一锗透镜，口径为；高斯束腰与透镜相距，如图2.3所示。求该望远系统对高斯束的准直倍率。解： ，21已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，。如何选择高斯光束腰斑的大小和位置才能使它成为该谐振腔中的自再现光束？解：由式()及球面反射镜等价焦距，有：和又，取。得：，22（1）用焦距为的薄透镜对波长为、束腰半径为的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径（此称为高斯光束的聚焦），在和（）两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不能改变，如何选择透镜的焦距？解： ，(1) 当时，须解得：或 当时，总满足，并在时，最小。(2) 不变：23试由自再现变换的定义式（）用解： () ()令 即 得：故24试证明在一般稳定腔中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径分别等于各该镜面的曲率半径。解：由(),参考平面上的曲率半径为
