第8章机械优化设计实例

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1、第八章机械优化设计实例前面几章系统地介绍了机械优化设计的理论和方法。本章将首先针对机械优化设计 实践中需要注意的问题介绍一些可供使用 的方法;接着通过对机床主轴结构优化设计、 齿轮减速器优化设计、平面连杆机构优化 设计等工程实例的分析，来说明在解决一 个工程实际问题时，建立优化设计数学模型，选择适当的优化方法，编制计算机程jm序，最终得岀符合要求的优化设计结果等 问题。第一节应用技巧一、机械优化设计的一般过程机械优化设计的全过程一般可分为如下几个步骤:1）建立优化设计的数学模型。2）选择适当的优化方法。3）编写计算机程序。4）准备必要的初始数据并上机计算。5）对计算机求得的结果进行必要的分析。

2、其中建立优化设计数学模型是首要的和关键的一 步，它是取得正确结果的前提，下面将专门讨论 这个问题。优化方法的选择取决于数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约 束函数的性态以及计算精度等。在比较各 种可供选用的优化方法时，需要考虑的一 个重要因素是计算机执行这些程序所花费 的时间和费用，也即计算效率。正确地选择优化方法，至今还没有一定的原则。 通常认为，对于目标函数和约束函数均为显函数 且设计变量个数不太多的回题，惩罚函数法较好; 对于只含线性约束的非线性规划问题，最适宜采 用梯度投影法，对函数易于求导的问题，以可利 用导数信息的方法为好，例如可行方向法;对求导 非常困难的问题则应

3、选用直接解法，例如复合形 法;对于高度非线性的函数，则应选用计算稳定性 较好的方法，例如BFGS变尺度法和内点惩罚函 数法相结合的方法。编写计算机程序对于使用者来说，已经没 有多少工作要做了，因为已有许多成熟的 优化方法程序可供选择。使用者只需要将 数学模型按要求编写成子程序嵌入已有的 优化程序即可。 步骤4）和5）对机械设计工作者来说，通常 不存在原则丄的困难，这一点将结合实例 来说明。】、建立数学模型的基本原则建立数学模型的基本原则是优化设计中的一个重 要组成部分。优化结果是否可用，主要取决于所 建立数学模型是否能够确切而又简洁地反映工程 问题的客观实际。在建立数学模型时，片面地强 调确切

4、，往往会使数学模型十分冗长、复杂，增 加求解问题的困难程度，有时甚至会使问题无法 求解;片面强调简洁，则可能使数学模型过份失真, 以致失去了求解的意义。合理的做法是在能够确 切反映工程实际问题的基础上力求简洁。设计变 量、目标函数和约束条件是组成优化设计数学模 型的三要素，下面分别予以讨论。1 设计变量的选择机械设计中的所有参数都是可变的，但是将所有的设计参 数都列为设计变量不仅会使问题复杂化，而且是没有必要 的。例如材料的机械性能由材料的种类决定，在机械设计 中常用材料的种类有限，通常可根据需要和经验事先选定, 因此诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数按选定材料 赋以常量更为合理;另一类状态

5、参数，如功率、温度、血 另、血变、孩度、压力、速度、加速度奪曲通常可由设计 对象的尺寸、载荷以及各构件间的运动关系等计算得出， 多数情况下也没有必要作为设计变量。因此，在充分了解 设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响 程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化 优化设计问题。另外还应注意设计变量应当相互独立，否 则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”,给优化带来困2泪标函数的确定 目标函数是一项设计所追求的指标的数 学反映，因此对它最基本的要求是能够用 来评价设计的优劣，同时必须是设计变量 的可计算函数。选择目标函数是整个优化 设计过程中最重要的决策之一。有些问题存在着明显

6、的目标函数，例如一个没有 特殊要求的承受静载的梁，自然希望它越轻越好, 因此选择其自重作为目标函数是没有异议的。但 设计一台复杂的机器，追求的目标往往较多，就 目前使用较成熟的优化方法来说，还不能把所有 要追求的指标都列为目标函数，因为这样做并不 一定能有效地求解。因此应当对所追求的各项指 标进行细致的分析，从中选择最重要最具有代表 f生的指标作为设计追求的目*示。例如一架好的飞机，应该具有自重轻、净 载重量大，航程长，使用经济，价格便宜, 跑道长度合理等性能，显然这些都是设计 时追求的指标。但并不需要把它们都列为 目标函数，在这些指标中最重要的指标是 飞机的自重。因为采用轻的零部件建造的 自

7、身重量最轻的飞机只会促进其它几项指 标，而不会损害其中任何一项。因此选择 飞机自重作为优化设计的目标函数应该是 最合适的了 O若一项工程设计中追求的目标是相互矛盾 的，这时常常取其中最主要的指标作为目 标函数，而其余的指标列为约束条件。也 就是说，不指望这些次要的指标都达到最 优，只要它们不致于过劣就可以了。 在工程实际中，应根据不同的设计对象, 不同的设计要求灵活地选择某项指标作为 目标函数。以下的意见可作为选择时的参 考。对于一般的机械，可按重量最轻或体积最小的要 求建立目标函数;对应力集中现象尤其突岀的构件, 则以应力集中系数最小作为追求的目标，对于精 密仪器，应按其精度最高或误差最小的

8、要求建立 目标函数。在机构设计中，当对所设计的机构的 运动规律有明确的要求时，可针对其运动学参数 建立目标函数;若对机构的动态特性有专门要求， 则应针对其动力学参数建立目标函数;而对于要求 再现运动轨迹的机构设计，则应根据机构的轨迹 误差最小的要求建立目标函数。3 约束条件的确定约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量 取值范围的限制条件。和目标函数一样，它们也 是设计变量的可计算函数。 如前所述，约束条件可分为性能约束和边界约 束两大类。性能约束通常与设计原理有关，有时 非常简单，如设计曲柄连杆机构时，按曲柄存在 条件而写出的约束函数均为设计变量的线性显函 数;有时却相当复杂，如对一个复杂

9、的结构系统， 要计算其中各构件的应力和位移，常采用有限元 法，这时相应的约束函数为设计变量的隐函数， 计算这样的约束函数往往要花费很大的计算量。3 约束条件的确定 在选取约束条件时应当特别注意避免出 现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束 必然导致可行域为一空集，使问题的解不 存在。另外应当尽量减少不必要的约束， 不必要的约束不仅增加优化设计的计算量, 而且可能使可行域缩小，影响优化结果。1、数学模型的尺度变换数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态， 使之易于求解的技巧。在多数情况下，数学模型 经过尺度变换后，可以加速优化设计的收敛，提 高计算过程的稳定性。下面分别对目标函数、设 计变量和约束

10、函数的尺度变换作一简要介绍。1 目标函数的尺度变换 在优化设计中，若目标函数严重非线性，致使 函数性态恶化，此时不论采用哪一种优化方法， 其计算效率都不会高，而且会使计算很不稳定。 若对目标函数作尺度变换，则可大大地改善其性 态，加速优化计算的进程。/( jt) = 144工f 十 4x2 一 8兀1尤2其等值线如图所示，这是一族极为扁平的椭o若令1 =，1/122 二 $2代人原目标函数,可得经变换后的新目标函数/()=屏 + 工-yjvi2其等值线如图&lb所示，其性态得到很大改善，给优化计算带来极大方便。在求得f (y) 的极小点y后，只须作如下换算 = yi 八2,工;n 2* d即可

11、得到原目标函数f(T)的极小点在实际工程设计中，目标函数通常具有更为复杂的形式，对其进行尺度变换本身就是一项相当困难的工作。因此目标函数的尺度变换使用得并不广泛。但是作为一种极好的想法还是很有启发性的Q2 设计变量的尺度变换通常可简单地取ki = 1/#式中北原设计变量的初始值，2 1, 2,，mo这样，当H选得较为靠近最优点a/时，则y ( = 1, 2,，n)均在1附近变化。若远离xj可以考虑在若干次迭代计算后，用+替代作新的变换。将y代入原数学模型求得最优解后，再通过逆变换即可得到原问题的最优点3.约束函数的规格化约束函数的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。由于各

12、约束函数所表达的意义不同，使得各约束函数值在量级上相差很大。例如某热压机框架的优化设计中，许用应力为 =150MPa,而下横梁的许用挠度为5 =0.5mm.约束函数则g（工）=a - 150 W 0g2（工）=$ - 0.5 W 0两者对数值变化的灵敏度相差很大，这对优化设计是不利的。例如，当采用惩罚函数时，两 者在惩罚项中的作用相差甚大，灵敏度髙的约束条件在极小化过程中将首先得到满足，而灵 敏度低的几乎得不到考虑。为了避免这种不正常情况，只需对约束函数作如下规格化处理即可，即g|（T）= / - 1 0 g2（力）=6/6 -1=0这样就使得各约束函数的取值范围都限制在0, 1区间内，起到稳

13、定搜索过程和加速收敛 的作用。第二节机床主轴结构优化设计一、数学模型的建立机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心 阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将 阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。下面以两支承 主如为例说明其优化设计的峑过程。图&2所示的是一个已经简化的机床主轴。在设计这 根主轴时，有两个重要因素需要考虑。一是主轴的自重； 一是主霸伸出端C点的挠度。对于普通机床，升不追求过 高的加工精懐，对机床主轴的优化设计，以选取主轴的自 重最轻为目标，外伸端的挠度是约束条件。当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。 即孔径d、外径D、跨距Z及外伸端长度a。由于机床

14、主轴 内孔常用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定， 不能作为设计变量。故设计变量取为x = Li工 2丄3厂=2 D aj机床主轴优化设计的目标函数则为/（X）=十叩（工1 +工3）&/ -护）式中P材料的密度。再来确定约束条件。主轴的刚度是一个重要性能指标，其外伸端的挠度了不得超过规定值 据此建立性能约束g（x）二歹-旳 0在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数，其值按下式计算 Fa2（l + a ），二 3EI式中u和厅-/）r 64Fz：（4 + 心）”22 3证心7亍一旳此外，通常还应考虑主轴内最大应力不得超过许用应力。由于机床主轴对刚度要求比较高, 当满足刚要求时，强度尚有

15、相当富裕，因此应力约束条件可不考虑。边界约束条件为设计变 量的取值范围，即min WtnaxDmin WDM Dmaxmin W 疋 max10综上所述，将所有约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为 + 3）（2 - 2）gi（*）g2（X）= 1 - 工/価 0的&）二 1 一 2/Omin 0g4（*）= 2/max 一 1 0g5&） = 1 -帀/口血 WO这里未考虑两个边界约束：工和工这是因为无论从减小伸岀端挠度上看，还是 从降低主轴重量上看，都要求主轴跨距口、伸出端长度工3往小处变化，所以对其上限可以 不作限制。这样可以减少一些不必要的约束，有利于优化计算。二、计算实例例81试对图8-2所示主轴进行优化设计，已知主轴内径M =外力F =血=5,收敛精度d =15000N,许用挠度o= 0.05mm。设计变量数 3,约束函数个数10 初始惩罚因子厂0 = 2,惩罚因子缩减系数c=02以及设计变量的初值、上下限列于表81中。表81例81的初始数据设计变J8