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1、word数论-同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。如此35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。定理2：两数不能整除，假如除数扩大或缩小了几倍，而被除数不变，如此其商和余数也同时扩大或缩小一样的倍数余数必小于除数。一、带余除法的定义与性质：一般地，如果a是整数，b是整数b0,假如有ab=qr，也就是ab
2、qr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数
3、分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34除以5的余数，即2.假如两个整数a、b被自然数m除有一样的
4、余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：假如两个数a，b除以同一个数m得到的余数一样，如此a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进展，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进展的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余
5、数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数一样。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进展计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和
6、。以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余定理：1.中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩
7、二，问物几何？答曰：“二十三。此类问题我们可以称为“物不知其数类型，又被称为“韩信点兵。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖X邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。X邦茫然而不知其数。 我们先考虑如下的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，如此兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积，然后再加3，得9948人。 孙子算经的作者与确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证
8、来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广与其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理Chinese Remainder Theorem在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法：对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。先由，即5和7的最小公倍数出发，先看3
9、5除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个倍数是否可以，很显然70除以3余1类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：，其中k是从1开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的X围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数，那么我们可以计算得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数,我们只要对最小的23加上3,5,7即可，即23+105=128。例题精讲：【模块
10、一：带余除法的定义和性质】【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数去除，得到商是46，余数是，求和【解析】 因为是的倍还多,得到，得，所以，【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数【解析】 (法1)因为 甲乙，所以 甲乙乙乙乙；如此乙，甲乙(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从中减掉以后，就应当是乙数的倍，所以得到乙数，甲数【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】 此题为余数问题的根底题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个
11、除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差，也可以得到一个除数的倍数。此题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3713，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例 1】 (年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是，余数是，被除数、除数、商与余数之和为，如此被除数是多少？【解析】 被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，如此由“和倍问题可得：除数=2083-1317+1=115，所以被除数=2083-115=1968【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40
12、，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【解析】 此题为带余除法定义式的基此题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.【例 2】 (2000年“祖冲之杯小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商一样，所得的余数也一样，这三个数是_，_，_。【解析】 设所得的商为，除数为，由，可求得，所以，这三个数分别是，。【巩固】 (2004年某某市“迎春杯小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_【解析】
13、设这个自然数除以11余，除以9余，如此有，即，只有，所以这个自然数为。【例 3】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，第二组比第一组多5人如果把书全局部给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人?【解析】 由，知，一组是10或11人同理可知，知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于，并且小于；又因为这个
14、两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为【模块二：三大余数定理的应用】【例 4】 有一个大于1的整数，除所得的余数一样，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数一样，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数，的约数有，所以这个数可能为。【巩固】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】 (法1)，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数一样，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公
15、约数，所以这个数是【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18与33所得余数一样的数有多少个?(余数可以为0)【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为18，33=198，所以每198个数一次 1198之间只有1，2，3，17，198(余O)这18个数除以18与33所得的余数一样，而999198=59，所以共有518+9=99个这样的数【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】 设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，如此根据题意可知，所以，即，得所以是9的倍数，是8的倍数此时，由知由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54当时，而，所以，故此时最大为；当时，由于，所以此时最小为所以这样的三位数中最大
