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1、 求极限的措施与技巧张道强陇东学院 数学与记录学院,甘肃 庆阳 745000 【摘要】 极限思想贯穿整个高等数学得课程之中，极限的求解措施是我们我们学习的难点之一，掌握求极限的思想与措施是学好微积分的前提条件，结合学习实际，本文对常用求极限的措施进行了归纳和延伸。【核心词】 极限 措施 数列 函数 【 abstract】 mithought tohihr mathematics cours hroughout te enire, liito solving metho of larii our on difficulty o mter the idea andmethodsorlmi hepe
2、mie condition isto do wll in calculus, combiig with ctal, his aper is o suyth mthodsd for itsare sum upd etesion. 【 keyord 】 itmthod equecefuntion 一：引言极限是数学重要概念。在数学中，所谓的极限就是如果某个变化的量无限的逼近一种拟定的数值,那么该定值就叫做变化的量的极限。常用的求极限的措施有如下几种：1.运用极限的四则运算法则2.运用等价无穷小求极限3.运用夹逼准则求极限4.运用两个重要极限求极限5.运用函数的定义求极限6.运用洛比达法则求极限7运
3、用函数的持续性求极限8.运用导数的定义求极限9.运用单调有界求极限10.运用级数收敛的必要条件求极限本文对其中某些常用措施在具体应用中进行技巧上的完善,以及补充其她求极限的措施如:1无穷大除分法.运用逐项消去法求极限3运用递推数列的通项求极限.二.预备知识1运用极限四则运算法则: 若假设,及则有对和差积商形式的函数求极限,自然用四则运算法则，法则简朴,但为了可以使用法则,往往需要对函数做恒等变形（常用的变形有：约分，通分，分式的分解，分子和分母有理化，三角函数的恒等变换,以及某些求和或求积公式的合适变量替代)。例1.求极限 解:由于而， , 由极限的四则运算得: = =22.运用等价无穷小求极
4、限 有限个无穷小的和时无穷小,有界函数与无穷小数相乘积为0,用等价无穷小替代求极限常常行之有效。注：在和差的极限计算中，不能用等价无穷小作替代。例1: 解：运用时原式= = 3.运用夹逼准则求极限例如：证明证明：作单位元如图所示:取,于是有.由图得:,即得，从而有 上述不等式是当时得到的,但又由于当用代换时，,都不变号，因此当为负时,关系式也成立。由于由极限的夹逼准则知 4.运用两个重要的极限两个重要的极限为或,使用这两个重要的极限来球极限如：求极限其中，a，,c为常数解:这是一种形如的函数求极限的问题,并且底数,指数，应当将这个极限与极限联系起来，由于,只需要将底数改写为：于是令,则得故=注
5、1:使用它们求极限是最重要的是对所给的函数或输了做合适的变形，使之具有相应的形式。.运用极限的定义求极限求极限：我们以函数极限定义为例,定义如下：定义:设为定义在上的函数，A为定数,若对任给的，存在正数M()得当时有： 则称函数当时以为极限，记作：例:证：任给由于 等价于而此不等式的左半部分对任何都成立，因此只考虑,其右半部分的变化范畴,为此先限制则有： 故对任给的正数只须取,则当时便有上式成立，则原式得证。注：运用函数极限的定义合用于极限的证明，而数列极限的定义比较合用于求简朴极限，如：当时，无限趋近于2，则 6.运用洛比达法则求极限洛必达法则为：假设当自变量趋近于某一定值(或无穷大)时，函
6、数和满足：(1）和的极限都是0或都是无穷大;(2)和都可导,且的导数不为0;（3）存在(或是无穷大）,则极限也一定存在，且等于,即= 。论文格式。运用洛必达法则求极限,由于分类明确，规律性强，且可持续进行运算，可以简化某些较复杂的函数求极限的过程,但运用时需注意条件。例4求 解：原式7.运用函数的持续性求极限由函数f(x）在x0点持续定义知，,由于初等函数在定义区间内到处持续，因此求初等函数在定义区间内任意点处的极限值,只规定其函数在该点处的函数值,因此可直接代入计算 。例. 解：由于是函数的一种持续点， 因此 原式 。8.运用导数的定义求极限 若函数f(x)在x0点可导，则，运用这个定义,若
7、所求极限的函数具有函数导数的定义式或可化为导数的定义式，则可运用导数的定义求极限。 例1. = =9.运用单调有界求极限单调有界原理：单调有界函数必有极限（在实数系中)例1:数列的极限解：, 为单调递增数列有又 ，则的上界为1 则注1：单调有界准则是证明数列极限常用的准则。10.运用级数收敛的必要条件求极限是级数收敛的必要条件例1. 求极限解：考虑级数,由于=故级数收敛，从而=0三.重要内容1无穷大除分法注：此法较合用于多项式的商例.解：原式=2运用逐项消去法求极限例:解:由于 = =. =由于=注：逐项消去法可以用来求(极限）数列的前项和无穷级数的和,也可以用来求有限项乘积和无限项乘积，操作时注意观测,，逐项消去将复杂数列变为简朴的数列。. 运用递推数列的通项求极限 运用数列的数列的递推公式求数列通项公式的措施诸多，例如递推法逐项相消法,代换法等,一旦求出数列通项,就可求的数列极限。例1设数列满足且求 解：由 得 则令则，故数列是首项为,得等差数列，故有：即, 解得:因此=参照文献：【】华东师大数学分析第三版(上册)高等教育出版社 【2】华东师大数学分析第三版(下册）高等教育出版社【3】华东师大数学分析同步辅导第三版（上册）高等教育出版社
