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1、 专题能力训练12数列的通项与求和专题能力训练第28页一、能力突破训练1.已知数列an是等差数列,a1=tan 225,a5=13a1,设Sn为数列(-1)nan的前n项和,则S2 016=() A.2 016B.-2 016C.3 024D.-3 024答案：C解析：a1=tan 225=1,a5=13a1=13,则公差d=3,an=3n-2.又(-1)nan=(-1)n(3n-2),S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024.2.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列b
2、n满足bn=(nN*),Tn是数列bn的前n项和,则T9等于()A.B.C.D.答案：D解析：数列an的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,当n=1时,a1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n,an=2n(nN*),bn=,T9=+=.3.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n-1,则a3+a17=()A.15B.17C.34D.398答案：C解析：Sn=n2-2n-1,a1=S1=12-2-1=-2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=a3+a
3、17=(23-3)+(217-3)=3+31=34.4.已知函数f(x)满足f(x+1)=+f(x)(xR),且f(1)=,则数列f(n)(nN*)前20项的和为()A.305B.315C.325D.335答案：D解析：f(1)=,f(2)=+,f(3)=+,f(n)=+f(n-1),f(n)是以为首项,为公差的等差数列.S20=20+=335.5.已知数列an,构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列an的通项公式为()A.an=-,nN*B.an=+,nN*C.an=D.an=1,nN*答案：A解析：因为数列a1,a2-a1,a
4、3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为的等比数列,所以an-an-1=,n2.所以当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+=-.又当n=1时,an=-=1,则an=-,nN*.6.植树节,某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10 m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 m.答案：2 000解析：设放在第x个坑边,则S=20(|x-1|+|x-2|+|20-x|).由式子的对称性讨论,当x=10或11时,S=2 000.当x=9或12时,S=2010
5、2=2 040;当x=1或19时,S=3 800.Smin=2 000 m.7.数列an满足an+1=,a11=2,则a1=.答案：解析：由a11=2及an+1=,得a10=.同理a9=-1,a8=2,a7=,.所以数列an是周期为3的数列.所以a1=a10=.8.数列an满足a1+a2+an=2n+5,nN*,则an=.答案：解析：在a1+a2+an=2n+5中用(n-1)代换n得a1+a2+an-1=2(n-1)+5(n2),两式相减,得an=2,an=2n+1,又a1=7,即a1=14,故an=9.设数列an的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,nN*.(1)求通项公式a
6、n;(2)求数列|an-n-2|的前n项和.解(1)由题意得则又当n2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列an的通项公式为an=3n-1,nN*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,nN*,b1=2,b2=1.当n3时,由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n3.设数列bn的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n3时,Tn=3+-=,所以Tn=10.(20xx全国,文17)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若
7、T3=21,求S3.解设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.联立和解得(舍去),因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.11.已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN*).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解(1)由a1=2,an+1=
8、2an,得an=2n(nN*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n2时,bn=bn+1-bn,整理得=,所以bn=n(nN*).(2)由(1)知anbn=n2n,因此Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*).二、思维提升训练12.给出数列,在这个数列中,第50个值等于1的项的序号是()A.4 900B.4 901C.5 000D.5 001答案：B解析：根据条件找规律,第1个1是分子、分母的和为2,第2个1是分子、分母的和为4,第3个1是分子、分母
9、的和为6,第50个1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有1项,分子、分母的和为3的有2项,分子、分母的和为4的有3项,分子、分母的和为99的有98项,分子、分母的和为100的项依次是:,第50个1是其中第50项,在数列中的序号为1+2+3+98+50=+50=4 901.13.设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案：-解析：由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得-=1,即-=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为d=-1,=-n,Sn=-.14.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,
10、nN*.(1)证明:an+2=3an;(2)求Sn.(1)证明由条件,对任意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切nN*,an+2=3an.(2)解由(1)知,an0,所以=3,于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3
11、+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=,从而S2n-1=S2n-a2n=-23n-1=(53n-2-1).综上所述,Sn=15.已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且-=,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)n的前2n项和.解(1)设数列an的公比为q.由已知,有-=,解得q=2或q=-1.又由S6=a1=63,知q-1,所以a1=63,得a1=1.所以an=2n-1.(2)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(
12、log22n-1+log22n)=n-,即bn是首项为,公差为1的等差数列.设数列(-1)n的前n项和为Tn,则T2n=(-+)+(-+)+(-+)=b1+b2+b3+b4+b2n-1+b2n=2n2.16.已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式;(2)设bn=,nN*,求数列bn的前n项和.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=;当n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=.所以,an的通项公式为an=(2)由(1)得bn=.设bn的前n项和为Sn,则Sn=1+2+3+(n-1)+n,Sn=1+2+3+(n-1)+n,上述两式相减,得Sn=1+-=-=2-,整理得,Sn=4-.所以,数列bn的前n项和为4-,nN*.
