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1、2012-2013学年第一学期本科试卷学 院: 专 业: 学号: 姓名: 装订线 学院课程名称:高等数学(一、一）（）题号一二三四五六总成绩得分判卷人复核人得分一、填空题（每小题3分,共15分） 1. 2x . 2. 3. 4. 已知, 则有 2 个实根. 5. 得分二、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 当时，下面四个选项中与不等价的无穷小是( C ) A ； B ； C ； D 2. 要使函数在连续需要补充函数值 （ D ）. A ； B ； C ； D .3. 下面说法不正确的是 （ C ） A 若函数在可导，则在可微分； B 若，则； C 若函数在左右极限都存在，则存在； D 若，
2、则函数在可导. 4. 设函数在内有定义,且有唯一极值点，能推断出是的极大值点的充分条件是（ A ） A 在不可导，在上，在上； B ，且； C ，且； D 在不可导，在上，在上. 5. 下面说法不正确的是 （ B ） A 设函数在上连续， 则； B ； C 若在满足，则； D .得分三、求极限（共2题,每题6分,共12分） 1. 解：=（3分）=2（6分）2. 当时,是连续函数，且，求解:因为, 所以; 又因为，所以=(3分)=1（6分）得分四、导数及其应用（4小题,每题6分,共24分） 1已知，求函数在处的微分解： (3分) = (6分) 2.设，求解：方程两边同时对求导，有，（4分）所以.
3、（6分） 3. 求函数的单调区间；解：解方程 ， 得 (2分)当 时, 当 时, 当 时, (4分)所以, 的单增区间是: , 的单减区间是: , (6分) 4. 当时，证明不等式 ； 解： 设 显然 ，(3分) 由 , 知 , 故 函数单增 所以, 当时, , 即 (6分)得分五、积分与反常积分（4小题,每题6分,共24分） 1用积分中值定理计算 解：对于, 根据积分中值定理, 存在, 使得; (3分)所以 =0 (6分) 2. 求不定积分 .解：（3分）(6分) 3. 求定积分 .解：令，则. （2分）于是原式.（6分） 4. 若,求的值.解： 左式= （2分）右式=（4分）由左式=右式，有 ， 得 （6分）得分六、定积分应用综合题（本题10分）设抛物线通过点, 且当时, .试确定的值,使得抛物线与所围图形的面积为,且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小.解：由于通过点,故因为抛物线与所围图形的面积为, 故有；（5分） 旋转体的体积 令，则. 又，且驻点唯一，因此当时，体积取得最小值.（10分）第 1 页 （共 6 页）
