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1、定积分与微积分基本定理复习讲义河南省卢氏县第一高级中学 山永峰备考方向要明了考什 么怎 么 考1。了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义。1。考查形式多为选择题或填空题2考查简单定积分的求解。3.考查曲边梯形面积的求解4.与几何概型相结合考查归纳知识整合1定积分(）定积分的相关概念:在f（x）dx中,a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（）dx叫做被积式。(2）定积分的几何意义当函数（x）在区间,b上恒为正时，定积分f(x）d的几何意义是由直线a,xb(ab)，y=和曲线y（x）所围成的
2、曲边梯形的面积（左图中阴影部分).一般情况下,定积分（x）x的几何意义是介于x轴、曲线f(x）以及直线xa,=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示），其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数(3）定积分的基本性质： kf（）dxkf(x)dxf（x）2(x）dxf1（x）f2（)x.f（）dxf(x）dxf(x)探究 若积分变量为t，则f（x）dx与（t)d是否相等？提示:相等.2一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗?提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理
3、求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.。定积分f(x)g(x）dx（f（x)g()）的几何意义是什么?提示:由直线x=a，x和曲线f(x），yg()所围成的曲边梯形的面积。微积分基本定理:如果f(x)是区间a,上的连续函数，并且F（）(x），那么f（x）d=F(b）-（a）,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式. 为了方便,常把F（b）F（）记成（x）,即 f(x）dxF(x）=F（b）F（）课前预测：1。x等于( )Aln 2ln 2 n 2 D。ln 2。(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V（t)=2t,质点作
4、直线运动，则此物体在时间,2内的位移为( )A。 B D.3。(教材习题改编）直线x0，x=2，y=0与曲线yx2所围成的曲边梯形的面积为_4.(教材改编题)dx=_。5.由y,直线y=x所围成的封闭图形的面积为_考点一 利用微积分基本定理求定积分例利用微积分基本定理求下列定积分：(1）（x2+21)dx;（2）（sn xos ）dx;（3)x(x）dx;()dx； （5） sndx。-求定积分的一般步骤：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；()把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用
5、牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5）计算原始定积分的值强化训练：1求下列定积分：（1)|x1|dx;（2） dx.考点二 利用定积分的几何意义求定积分例2d_变式：在本例中,改变积分上限,求x的值 -利用几何意义求定积分的方法（1）当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分。(2）利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.强化训练：2（2014福建模拟）已知函数f(x）（o-sin t）t(x0）,则f(x）的最大值为_考点三:利用定积分求平面图形的面积 例3 （04山东高考）由曲线y=，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为(
6、 ） 。4 C. 6变式训练:若将“y2”改为“y=x+”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？-利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图(）借助图形，确定被积函数,求出交点坐标，确定积分的上、下限。(3）将“曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差(4)计算定积分,写出答案强化训练：(201郑州模拟）如图,曲线yx和直线x，1，y所围成的图形(阴影部分）的面积为（)A. B。 C。考点四:定积分在物理中的应用例4 列车以72 km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度0 m/s，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？-。变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v关
7、于时间的函数是vv（t)（v（t）0),那么物体从时刻ta到t所经过的路程为（t）d;如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间的函数是v=v(t)(v（t)），那么物体从时刻=到=所经过的路程为v(t）d2变力做功问题物体在变力（x)的作用下，沿与力F（x）相同方向从xa到=b所做的功为F()dx.强化训练：。一物体在力F(x）=（单位：N)的作用下沿与力F（x)相同的方向运动了米，力(）做功为（)A。4 B.6 C8 50 J1个定理微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知，求导与积分是互为逆运算3条性质-定积分的性质(1）常数可提到积分号外;(2）和差的
8、积分等于积分的和差;（3)积分可分段进行3个注意-定积分的计算应注意的问题（)若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是积分变量；(2）定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；（3）面积非负， 而定积分的结果可以为负 易误警示利用定积分求平面图形的面积的易错点典例(213上海高考）已知函数yf(x）的图象是折线段ABC,其中A(，0)，B，C(,）.函数y=xf（)（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为_。本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误.2。本题易弄错积分上、下限而导致解题错误,实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错3解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处
9、理好以下两个问题：(）熟悉常见曲线,能够正确作出图形，求出曲线交点,必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量.变式训练：1。由曲线yx2,y=x3围成的封闭图形面积为（ ）A。 BC D.2(2014山东高考）设a0若曲线=与直线x=a，y0所围成封闭图形的面积为2，则a=_。 定积分与微积分基本定理检测题一、选择题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）1。dx（ ）lnxln2 B.-1 C 。（012湖北高考）已知二次函数yf（）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（)A. . C。 D.3设函数（)=ax2+b（a0），若(x）d=(x0），则x0等于（ )A.1
10、B C. D.2设f(）=则f（)dx(）A. B. C. 。不存在5.以初速度40 /竖直向上抛一物体，秒时刻的速度4010t2，则此物体达到最高时的高度为（) B. m . m D. 6.（2013青岛模拟)由直线x，x=,y=0与曲线cos x所围成的封闭图形的面积为( ）A. B.1 C。 .二、填空题(本大题共小题,每小题5分，共15分）7设an xdx，则曲线y=f(x）=xa+a-2在点(1，f（）处的切线的斜率为_8.在等比数列an中，首项a=，a4=（1x)dx，则该数列的前5项之和5等于_9.（203孝感模拟）已知a,则当( xsin ）d取最大值时,_三、解答题（本大题共
11、3小题，每小题12分，共6分)1计算下列定积分:(1） sin2d； （）d； （3）e2xd.11如图所示，直线ykx分抛物线=x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值12。如图，设点P从原点沿曲线y=x向点A（2,4)移动，直线O与曲线=x围成图形的面积为S1，直线P与曲线yx2及直线x围成图形的面积为S，若S1=S，求点P的坐标 备选习题。一物体做变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在 6 s间的运动路程为_。2计算下列定积分：(）(3x22x+1)； （2）dx.求曲线y，-x所围成图形的面积。4.某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家
12、颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪,其运动规律属于变速直线运动,且速度v(单位:m/s)与时间t(单位：s）满足函数关系式（t）某公司拟购买一台颗粒输送仪,要求 mi行驶的路程超过 63 ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？ 定积分与微积分基本定理复习讲义答案前测:1D. 452ln 例:（1）。(2）.(3）。（4）4e2n 2.（)变式1：解:(1)1|故1|dx(1）dx(x1)dx=+=1（2) dx=in o|dx(cosxsin x)dx+ （sin xcos x）dx=（in cos)(co x-snx） =1(1）=22。例2：自主解答 dx表示y=与,x1及y0所围成的图形的面积由y得（1）2+2=（y0），又01,y与x0，x1及y0所围成的图形为个圆，其面积为。dx。互动：解：dx表示圆（x-1）2+y2=1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以x. 变式2。 1 例。互动:。变式例：自主解答a04 m/s2，v0=72k/=20 m/s。设ts后的速度为v，则v200。4t令v=0,即00.4 =0得t50 (s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，则dt=(20-4t）d=(2t0。2t）2002502500(），即列车应在进站前50
