《高等代数教(学)案第一章基本概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数教(学)案第一章基本概念（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章基本概念一综述1. 本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）所需位置不同，可根据课时安排及进度分散处理 如集合、整数的一些整除性质、数 学归纳法、数环和数域可先讲，映射可放在线性空间前讲2 从内容上讲，除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外，其它内容是学生在中学数学当中熟知的，只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法，其在中学中熟知其一些事实，今在理论上加以严密论证）3新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念，数学归纳法作为定理的论证 4 学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证，这需要从具
2、体例子引导训练，逐步培养.二重点、难点1. 重点在于所有基本概念，特别是引入的新概念2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明1.1 集合一教学思考1 集合可以作为不定义的概念来处理，有些教材上给出了一个简单刻化2 确定一个集合 A，就是要确定哪些是集合的元素 ，哪些不是集合的元素说明一个集合包含哪些元 素时，常用“列举法”、“示性法”（描述法）3 中学代数大部分的内容是计算 ，因此一开始遇到证明题时，往往不知从何入手，此需注意培养学生 的推理能力，这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练4 为稍拓宽知识，可讲解一下补集、幕集等概念 二重点、要求1 重点、难点：卡氏积的概念及
3、从概念出发（集合相等、子集等）进行推理2 要求：使学生了解有关集合的刻化及运算，培养推理能力三教学过程1 集合：简称集，在此是一个不定义的原始概念 ，通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合，是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体其中每个事物称为这个集合的 元素常用大写字母 A、B、C表示集合，用小写字母a、b、表示集合的元素若a是集合A的元素，就说a属于A，记作a A，或者说A包含a.若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a “ A，或者说A不包含a. 常采用两种方法：（1 ）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法如A123“ I（2 ）示性法（描
4、述法）：给出集合所具有的特征性质如B = 4| X2 3x - 4二0表示方程2x 3x -4 = 0的解集.2 .集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合用门表示约定：j是任何集合的子集3 集合间的关系：（1）设A、B是两个集合.子集：若A的每个元素都是 B的元素，则称A是B的子集（即若”一 X，A= X，B）.记作A B （读作A属于B）;或者B二A （读作B包含A）.相等：若集合 A和B是由完全相同的元素组成的，则称A与B相等，记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A）A A ；（反身性）B ）若 A
5、；= B,B 冬 C = A ；=C ；（传递性）C）A 5 B且B 5 A = A=B.（反对称性）4 几个常用的数集（略）5 集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）一一交、并、补、卡氏积：设A、B是两个集合（1） 并：由A的一切元素和B的一切元素组成的集合叫做A与B的并集，简称并.记作AT B.即 AT B =x| x A,或x B?.（2） 交：由集合 A与B的公共元素组成的集合，叫做A与B的交集,简称交.记作A B.即 A B 一x| x A,但x B?.（3） 余（差、补）:由一切属于 A而不属于B的元素组成的集合，叫做B在A中的余（补）集，或 称为A与B的差集.记作A-B.即 A
6、 - B =| x A，x 一 B二（4） 积（卡氏积）：由一切元素对（a,b）所成的集合称为 A与B的笛卡儿积（简称为积）.其中第 一个位置的元素取自 A，第二个位置的元素取自B.记为A B.即A B.（a,b）|a，A,b，B?.1 2 映射一教学思考1 .映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化，可作必要的调整及层次化，按映 射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理2 概念多且成系列，注意帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系 ，如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广），注意训练从定义验证有关问题（
7、给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法，语言要准确、清楚、有条理同时初步领会怎样举例一一包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题） 二内容、重点、要求1 .内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等2 .重点：映射及有关概念，举例及由定义验证有关问题的方法.3. 要求：理解并记住上述概念，学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法三教学过程1概念与例子定义1.设A、B是两个非空集合，A到B的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于-X 代-V B与它唯一对应例子：（1 ）对乙 Z，令 f（n ）=2 n.（2） A = R, Bx |x _0,x
8、R, f（x） = x2.（3） A = B = 1,2,3,4, ： f : 1 ： 2,2： 3,3： 4,4： 1.（4）设 A 是任一集合，对一x，A, f （x）二 x .这是A到自身的一个映射（称为 A的变换），称为恒等映射（此为恒等变换），记为jA.定义2.设f : A； B,g : A； B都是A到B的映射，若对一x，A,都有f（x）二g（x）,则称映射 f与g相等,记为f =g .|女口： f:RT R,xa |x;g:RT R,x vx2 .有 f=g.2 映射的合成(1)定义 3设 f : A B,g : B C 是两个映射，对-X A,有 f (x) B ,从而 g(
9、f (x) C , 这样,对-x A,就有C中唯一的g( f (x)与之对应,就得到 A至U C的一个映射,这个映射是由 f : A B和g : B C所决定的，称为f与g的合成记作g ： f .即：g : f : Ar C, x : g( f (x).2例子：f : R-； R,x ： x ;g : R-； R,x ： sinx .则2 2g : f : R R,x : sin x ; f ： g : R R, x : sin x .(2 )映射合成满足结合律：设f : A B,g : B C,h :C D,则由合成映射的定义可得A、D的两个映射： h ：(g ?f),(h ?g) ： f
10、,则 h ?(g : f) = (h ： g) : f .3几类特殊映射定义4.设f : A B,对- x 代有f (x) B ,则所有这样的象所作成B的子集,用f(A)表示,即f(A)_f(x)|xA；叫做A在f下的象，或叫做映射f的象(1)满射：定义5.设f : A B是一映射，若f (A) = B ,则称f是A到B上的一个映射，也称f 是一个满射.(2) 单射：定义6.设f : A B是一个映射，若对一 x!,x B既是单射又是满射，即1 )若 f (xj = f (X2)=为=X2,-X1,X2 A ；2 ) f (AH B.则称f是A到B的一个双射.特别若f是A到A上的一个1-1对应
11、,就称f为A的一个一一变换；有限集A到自身的双射称为 A的一个置换.女口： jA是A的一个一一变换，同样jB是B的一个一一变换.由映射合成及相等：若 f :AB,则 有 f0jA=f，jB0f 二 f.令f :A； B是一个映射，则：下述两条等价：1 ) f是双射；2 )存在g:B； A使得 gof二jA，f og二jB.且2)成立时，其中的g由f唯一决定.(4) 可逆映射及其逆映射定义8.设f : A B,若存在g : B A,使得gof = jA，fog = jB ,则称f是可逆映射，且称g 为f的逆映射.求其逆的方法由定理知：f : A B可逆二f是双射.而验证双射有具体方法，所以可先证
12、f可逆(双射)，再求 其逆.而由TH1证知f可逆时其逆唯一为 g :A, y a x (若f (x) = y)(即对 B,找在f下的原象).(5) 代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数 (a,b),有确定的唯个整数(通过相加)与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z- Z的一个映射： :(a,b)a a b.同样实数乘法亦然.一般地：定义9.设A是一个非空集合，我们把A A- A的一个映射叫做集合 A的一个代数运算.若集合A 有代数运算二，也说A对二封闭.1.3数学归纳法 一教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法一一数学归纳法；对
13、于该内容学生不感陌生，因在中学内容中曾会应用问题在于数学归纳法自身的理论证明，为此需要一个原理一一（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理 （给出分析证明及必要的说明），以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释一一从特殊认识一般的思想方法，及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）2. 重点：数学归纳法的证明、应用，归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用 三教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物，再由这些事物总结
14、和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础一一自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集 N ”的任一非空子集 S必含有一个最小数，即 a S，对一 S，都有a乞c.2. 数学归纳法（第一数学归纳法）设有一个与自然数n有关的命题P（n）,若满足下列两条：1 ）当n=1时P（n）成立；2）假设n =k时成立，则当n =k 1时也成立.则命题P（n）对于一切自然数n都成立.（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数 n有关的命题P（n）,若满足下列两条：1 ）当 n =1时P（n）成立；2 ）假设命题对于一切小于k的自然数都成立时，命题对于k也成立.则命题P（n）对于一切自然数n都成立.1.4 整数的一些整除性质一教学思考1. 整数的性质是学生熟知的，本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法，最大公因数及性质，互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别，理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容，助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容，需要将该部分层次化得清晰些 .二内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运
