《椭圆的简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆的简单几何性质（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质【基础知识精讲】x2 y 21椭圆一 + =l(ab0)，范围：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里, a 2 b2即丨 x |Wa,| y |Wb.2对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭 圆的对称中心，即为椭圆的中心.3顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A(a,O), A2(a,0), B/0, b),B2(0,-b)c4离心率：e= ,(oVeV1),e越接近于1,则椭圆越扁；e越接近于0,椭圆就越接近a于圆.5椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0Ve V1)的点的轨迹定点
2、即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.x2 y 26椭圆的焦半径公式：设Pg。)是椭圆a2 + b2 =1(ab)上的任意一点，FF2 分别是椭圆的左、右焦点，则丨PF I =a+ex , I PF I =a-ex 1 0 2 0fx = a cos p(Q是参数)7椭圆的参数方程7 I y = b sin p本节学习要求：椭圆的几何性质内容多它与直线的位置关系的确定离不开一元二次方程中的判别式及 韦达定理如椭圆中的弦长问题：若直线y=kx+b和二次曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0相交，所得弦长可由下法求之,由两方程中消去y,得 ax2+bx+c=0,记厶二b2-4ac,则弦长二lal若弦
3、过焦点，则用焦半径公式更为简洁这要求大家针对具体的题目，灵活采用方法计算弦 长或与焦半径有关的问题.重点难点解析】通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量 小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准 方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义.兀例1设直线l过点P(-l, 0),倾角为一，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.3解:直线l的方程为y=朽x+3，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0, /=144-4X7 X 2=88弦长二88(1 + 3)74227x 2 y 2例
4、2求椭圆示+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.25 81解：设椭圆上的点为(5cos0 , 9sin0 )，则3 x 5cos 0 + 36sin 0-64| |36sin 0 + 15cos 0 64|d=39 sin(0 + arctan 害)-64539 x 1 - 64|d =max例3已知椭圆才+ 丁 =1内有一点P(,F是右焦点,M是椭圆上的动点，求|MP|+2|MF|MFI解:过M作右准线x=4的垂线垂足为Mi，由椭圆第二定义，有品的最小值，并求此时M的坐标.1=.2 I MF |2=I MM I1.IMPI+2IMFI=IMPI+IMMI1过P作右准线
5、的垂线交椭圆于N,垂足为叫，垂线方程为y=-1.显然I MP | + I MM】|三| NP | + I NN】| (当M与N重合时等号成立)而I NP I + I NN】I = | PN I =3113x 2 + 4 y 2 由方程组|I y =1=12得N（羊-1）?.| MP I +2 I MF丨的最小值是3,此时M的坐标是（难题巧解点拨】y 2 x2例1 P是椭圆方程为 J +牙=1上的任意一点，F, F是椭圆的两个焦点，试求I16 9 1 2P. I I PF2 I的取值范围.解：设 I PF】I 二t,则 twa-c,a+c,即 tw4-a/7 , 4+a/7 且 I PF? I
6、=2a-t=8-t.I PF II PF I =t （81）=（t4）2+16 t W4叮7 , 4+叮7 1 2当 t=4 时,取最大值为 16当t=4 0v13_8VtV且 x +x = t221 2 13又 AB 的中点 M 在直线 y=4x+m 上，12 413 t=4Xt+m . t二一 m13 134代入式得：-13 m2 v131313解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则x2 y 2才+才=1x2-得3X 2 - X 2 12 +4y y3(x + x )4 =12 -x x 4( y + y )1 2 1 2而 KAB=y
7、- y12-x -x12故有3(x + x )12 -4( y + y )12设 AB 的中点为(x,y)，则有 xi+x2=2x,yi+y2=2y 代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.x 二my 二3m由于 AB 的中点在椭圆内部(m) 2 (3m) 2+434VI = m213=-1b13 m0, n0)，这样计算简洁，还可避免对焦点 位置的讨论.3. 遇到弦的中点问题时，常用点差法.x2 y 2例i椭圆12 +3 =1的焦点为F, F.,点P在椭圆上，如果线段PF的中点在12y 轴上，那么|PFi|是1 PF2A.7 倍的( )B.5 倍C.4 倍D.3 倍解：设 F1(30)，e=，
8、卩(,片)线段PF1的中点的横坐标为0,：即x =30:I PF11 =a+exo=2 爲v37+x3=_:I PF2I =2a I PF1I =4 ： 3:I PF1=7I PF2I故选 A例2设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P(0, 2 )到这 个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆方程，并求椭圆上到P的距离等于的点的坐标.x2 y 2解：设所求椭圆方程为一 + =l(ab0)a 2 b2c 2 a 2 一 b 2 由 e2=a2 a2b2=1-a2和 e=得 a=2b设椭圆上的点(x,y)到P点的距离为d,则3y 29d2=X2+(y ) 2=a2(1-)+y23y
9、+ 2 b241=3(y+) 2+4b2+3(bWyWb)213若bV 时，则当y=-b时，d2(从而d)有最大值，由题设得(y7 )2=(b+ )2，由此得3 11b=i：7 与 bV 矛盾.222若b三2时，当y= 2时，d2有最大值，从而d有最大值，有(门)2=4b2+3, Ab=1,a=2X 211所求椭圆方程为才+y2=1，椭圆上的点(-抒，-2)，点(朽，-2)到P点的距离都是7 .说明： 本题体现了数学的转化与函数思想， 本题关键是讨论距离函数1d2=-3(y+ 2 )2+4b2+3在区间-b,b上的最值，二次函数在区间上的最值问题要就对称轴 与区间的关系来讨论.例3已知椭圆的中心在原点0,焦点在坐标轴上，直线y=x+l与该椭圆相交于P和Q，J10且0P丄0Q,丨PQ I = 一亍.求椭圆方程.分析 设P(xi,yi),Q(x2,y
