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1、一、从实验数据处理谈起假定规律为：S=ct+c，由2（i=12,n），令第十七讲矛盾方程（组）的解-最小二乘法设有一组实验数据（Jsj,（t2，s2），（tn，sn）,希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。1于存在误差S丰ct+ci1i2#t1s11r1tc,b=sQ2,x=12c2t1s,则：Ax=b实际无解，或者说矩阵方程Ax=b成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？一般处理是，定义一种目标函数，例如：E(c,c)=fw(s-ct-c)2w0为加权系数12ii1i2ii=1使误差Eq，c2)最小化。Wj=1(i=1n)时
2、Eq，c?Ax一b二、最小二乘法（解）对于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一种方法。即求使|Ax-=min的解。2引理：设AGCmxnd13由如下方程的通解构成：ZGCnxmAX=AA(i,3)tA1,3=As+(I一AsA)Z其中，A(2)为A1,3冲的某个矩阵。证：1。方程既然相容，设X是其某个解，则(i)AXA=AA(1,3)A=AtXGA1(iii)(AX)H=(AA(1,3)H=AA(1,3)=AXtXGA3即方程的解必在A1,3冲。2。设X为A的一个1,3卜逆矩阵，则AX=AA(13)AX=(AA(13)(AX)h=(AsAHXHAH=(A(1,3)H(AXA)H=(AA
3、(1,3)H=AA(1,3)即，A的1,3-逆矩阵必满足方程AX=AA(1,3)A1,3=方程AX=AAg)的所有解=A(13+(I-AdA)ZZGCnxm令X=Ad,3)+(IA(13)A)Z，则(i)AXA=AA(13A+AZA一AA(m)AZA=AXgA1(iii)AX=AAg)+(A一AA(w)A)Z=AAs=(AX)hXgA3定理：矩阵方程Ax=b的最小二乘解为x=Ad3b，其中A(1，3)为A的任何一个19卜逆矩阵，反之，存在X,对于任何bGCm均有Xb为Ax=b的最小二乘解，则XgA1,3证明：Ax-b=(Ax一Pb)+(Pb一b)R(A)R(A)(Ax-Pb)gR(A),(Pb
4、-b)=-(I-P)b=PbgR丄(A)R(A)R(A)R(A)r丄A)所以,|Ax一b|2=|IAx-Pb2+|IPb-b2lib-Pb|2,R(A)R(A)R(A)故|Ax-b|；取得极小值的条件是x为方程Ax=PR(A)b的解。任取一个A(i,3)gA1,3，我们知道AA(i,3)=P。而对于x=Adb,R(A)有Ax=AA(13)b=Pb(但最小二乘解是否一定具有A3)b的形式R(A)呢？)方程Ax=AA(i,3)b的通解为x=y=A（i,3）b+zAsAA（i,3）b+y-AsAylygCna（10）b+（I一A（1,3）A）zzGCn丿显然最小二乘解并不一定都具有A(1,3)b的形
5、式。反之，若对于VbgCm,x=Xb均使Ax=Pb=AA(i,3)b，即R(A)Vb,有AXb=AAsbTAX=AA(w)tXgA1,3推论：x是方程Ax=b的最小二乘解的充要条件是，x为方程AhAx=AHb的解。证：x为最小二乘解oAx=Pb，而b=Pb+Pb，故R(A)R(A)N(AH)x为最小二乘解oAx一b=PbgN(Ah)tAh(Ax一b)=0N(AH)最小二乘解一般不唯一。三、极小范数最小二乘解定理2:设AgCmxn,bGCm，则x=a+b是方程Ax=b的极小范数最小二乘解。反之，若存在XGCnxm，若对于所有bGCm,x=Xb均成为方程Ax=b的极小范数最小二乘解，则X=a+。证：最小二乘解满足Ax=AA(1，3)b，其极小范数解唯一，且为X=A(1,4)(AA(1,3)b)=A+b，反之，VbGCm,xb均成为唯一的极小范数最小二乘解A+b，所以：X=A+。定理3:矩阵方程AXB=D的极小范数最小二乘解唯一，且为X=A+DB+证明略（教材P86）作业：P343344，1，2，5
