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1、线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义1. 行列式的计算:（定义法）aiia21Ma12a22Ma1na2nM(-1)t(j1j2L jn)a a L a11 22an1ann （降阶法）行列式按行（列）展开定理:行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 等于零. （化为三角型行列式）上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.若A与B都是方阵（不必同阶），则AOA*OBOBOA*ABOBO=(-V)
2、mn |A|BA O* B=1 All52-100-1300001100-25例计算2-100-1300001100-25解2 -1 11.-1 3 -25=5 x 7 = 35*aOa1n1naa2 n-1=2 n -1NNaOaO关于副对角线:n1n1=(-1) a a Kan1例 计算行列式11L1xxLx12LnX 2x2x212nMMMXn-1Xn-1LXn-112n范德蒙德行列式:n1 j i n:-x ijabbLbbabLbbbaLbMMMOMbbbLa=a + (n - 1)b(a - b)心a - b型公式:（升阶法）在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.-1n
3、 - 2（递推公式法）对n阶行列式D找出D与D或D , D之间的一种关系一一称为递推公式，其中以-D , D , D等结构相同，再由递推公式求出D的方法称为递推公式法.（拆分法）把某一行（或列）元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，2.3.4.使问题简化以例计算.（数学归纳法）5.J对于n阶行列式|4|，恒有:nA 00 x箭形彳了列式）+诺（1）k S-入n -k k =1 证明a |=0的方法： 、|a| = -|a| ；_ 一一o 、反证法； 、构造齐次方程组Ax = 0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r（A） n ；_ _ 、证明0是其特征值.一代数余子
4、式和余子式的关系：M = （-1）i+jA y j人E - A0.1.0其中sk为k阶主子式;第二部分矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解a a L1.矩阵的定义由m X n个数排成的m行n列的表A = a2ia22LM Main a2 nM称为m x n矩阵.记作：A = (a )或A可 mxn mxnam1am 2Lmn同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等.矩阵相等：两个矩阵同型，且对应元素相等.矩阵运算a.矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减)b. 数与矩阵相乘：数人与矩阵a的乘积记作人A或A人，规定为人A = (M ).ijc.
5、矩阵与矩阵相乘：设A = (a ) , B = (b )，则C = AB = (c ),ij mxsij sxnij mxn其中注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律，即公式AB=BA不成立.AB = 0 n A = 0 或 B=0a.分块对角阵相乘 ：r a)r b )r A B)r An)A =11,B =11n AB =11 11,An =11kA22 k B 22kA22 B22 kAn /22yb.用对角矩阵A乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；c.用对角矩阵A右乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵 的钮向量.d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线
6、上的对应元素相乘.方阵的幂的性质：如4 =如,(Am ) n = ( A) mn矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记a.对称矩阵和反对称矩阵：A是对称矩阵A = AT.A是反对称矩阵A = -At .(A 11A12A1nAA* = A*A = |A|E, |a* | = |A|n-1,伴随矩阵：A* =（A）=/A21A22MA2 nA-iAn1An 2nn )=A-1.A）.为| A|中各个元素的代数余子式.分块对角阵的伴随矩阵(A:*(时)=AB* J(AB :T(ATct ICD /=BtDT Jb.分块矩阵的转置矩阵:矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质
7、：伴随矩阵的性质：AA*= A*A = | A|E （无条件恒成立）(A 丫(、B ) -1)mn|B|A*(-1)mn |A|B*J2.逆矩阵的求法方阵A可逆|A|。0.伴随矩阵法,A*A-1 |A|好 (a b )-1 1 (d -b 注：c dJ ad -bc -c a J主L换位副L变号初等变换法 (AME) 初等行变换(EMA-1)1 22例求2 1 -2的逆矩阵.2 -2 1解r a)-1r A-1kB=kB-1 ,分块矩阵的逆矩阵rA :-1rB-1k B)=k A-1J、-1-1a1十a2a3 配方法或者待定系数法(逆矩阵的定义Ag = ba = E n A-1=B)例设方阵4
8、满足矩阵方程击-4 - 2E = 0,证明A及A + 2 E都可逆，并求4-1及(4 + 2E)-解由 42-4 - 2E = 0 得1(4 - E)A = E ,故 4 可逆，且 4-1= -(4 - E ) 22由 42 -4 - 2E = 0 也可得(4 + 2E)(4 -3E) = -4E 或(4 + 2E) -4(4 -3E) = E , 故 4 + 2E 可逆，且(4 + 2E)-1 =-4(4-3E)-3. 行阶梯形矩阵|可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非 零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列
9、的其 他元素都是0时，称为|行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式rr ( cc )ij ，Jr x k( c x k)r + r x k( c + c x k)i ji j矩阵的初等变换和初等矩阵的关系: 对A施行一次初等。变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵Q乘A ; 对A施行一次初等钮变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵弓乘A.注意：初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为 初等列矩阵.5. 矩阵的秩|关于a矩阵秩的描述： 、r(A) = r，A中有r阶子式不为0，r +1阶子式(
10、存在的话)全部为0； 、r(A) r，A中存在r阶子式不为0;矩阵的秩的性质： A。O = r (A) N1 ； A = O = r (A) = 0 ； 0 W r (A ) W min(m, n) r (A) = r (Ar ) = r (Ar A) r(kA) = r(A) 其中k。0 若A , B ,若 r (AB) = 0 nr(A) + r(B) nB的列向量全部是弘=0的解 r(AB) W min r(A), r(B)若P、Q可逆，则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；即：可逆矩阵不影响矩 阵的秩. Ax =。只有零解若r (A )=mxnr (AB) =
11、r (B)A在矩阵乘法中有左消去律AB = O n B = OAB = AC n B = C若r(B ) = nnJ r(AB) = r(B)nsI B在矩阵乘法中有右消去律.a .(E右尸(A) = r n人与唯一的roo/ e o一 O J等价，称(Or O J为矩阵掘等价标准型. r(A 土 B) W r(A) + r(B), max r(A), r(B) W r(A, B) W r(A) + r(B)(A OJ rOB J( O AJB O J = r(A) + r(B),求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6矩阵方程的解法（|人伊0）:设法化成AX = B 或（II）XA = B第三部分线性方程组1.向量组的线性表示2.向量组的线性相关性3.向量组的秩4.向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）（2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组P,a,a ,L , a，若存在一组数k , k ,L , k使得12n12
