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1、0求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数正好满足，为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度而滑动，如图一，求：物体在轨道上任意一点的速度与的关系,设为速度与水平线的夹角。解：物体在某一位置所受的力有:重力,弹力以及摩擦力。摩擦力总是与运动速度V的方向相反,其数值重力在斜面上的分力为，如图二，将分解为两个分力:是沿轨迹切线方向的分力， ;是沿轨迹法向的分力,，如图三。根据牛顿运动定律，得运动方程为 （1) （2）由(）,而得到 （)式中是的函数,但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在与t中消去一种变量,才干积分，注意到 (4)而表达曲线在该点的曲率
2、半径,根据（）式, (5）由式(3）(4)（)，可得到,积分，得到，运用积分法求解链条的速度及其时间一条匀质的金属链条,质量为m，挂在一种光滑的钉子上，一边长度为,另一边长度为并且,如图一。试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。解：设金属链条的线密度为当一边长度为，另一边长度为时受力如图二所示,则根据牛顿运动定律，得出运动方程则由于，因此令可以求得链条滑离钉子时的速度大小 全转化成与x有关的式子，由于x有相应的式子。再由得到积分，得到令x=，可以求得链条滑离钉子所需的时间为求解棒下落过程中的最大速度在密度为的液体上方有一悬挂的长为L,密度为的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断
3、细绳,棒在重力和浮力的作用下下沉,若，求：棒下落过程中的最大速度。解:剪断细绳后,直棒在下沉过程中受到重力和浮力的作用,如图一所示。根据牛顿运动定律，有 （1)随着棒往下沉,浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零,即时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时,棒浸入液体中的长度为,设棒的截面积为,则有解得， （2）取x坐标如图所示，则（)式可以写为做变量代换,令代入上式，得到两边积分，得到得到，将(2）式代入（3）式，得棒的最大速度为运用微分法求解阻尼平抛质量为m的物体,以初速为，方向与地面成角抛出。如果空气的阻力不能忽视，并设阻力与速度成正比，即,k为不小于零的常数。求:物体的运动轨道。解：
4、根据受力状况,列出牛顿运动定律方程其分量式， (） （2）将代入式(1），得改写成两边积分，得到可见由于空气阻力的存在，x方向的速度不再是常数,而随时间逐渐衰减。由于再积分，并以=0时x=,代入得到 （)同理，由于式（2）转化为 错了 不带负号积分，并以t=0时，代入，得到可见，y方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分,并以t=0时y0代入,得到 在那修正 (4)由(3)(4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程显然由于空气阻力的作用,抛体的轨道不再是简朴的抛物线了,实际轨道将比抱负轨道向左下方偏离，如图一。例如：以初速20m/s,仰角发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40k,而实
5、际射程只有4km.求解飞机的滑行距离飞机以的水平速度触地滑行着陆。滑行期间受到空气的阻力为，升力为，其中V是飞机的滑行速度。设飞机与跑道间的摩擦系数为，试求：飞机从触地到停止所滑行的距离。解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x轴。飞机在水平方向上受力为:摩擦力，空气阻力为；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力如图一所示，应用牛顿第二定律，得到由上两式消去N,得到运用得到分离变量,积分,得到在飞机触地的瞬间,支持力N=0,由运动方程，得到于是这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。社（升阻比）,。代入数值计算后，得到x=221m.求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题两小球的质量均为m,
6、小球1从离地面高度为处由静止下落,小球2在小球1的正下方地面上以初速同步竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k（常量)。试求:两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。解:两小球均受重力和阻力作用,取坐标如图一所示,两小球的运动方程可统一表达为 为什么可以把两个小球的运动合并? 这里的V是指矢量，这个式子不矛盾,且可以把，2 两个小球用一种式子统一起来!它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故分离变量对于小球1,初始条件为时，故 （1) 对于小球2,初始条件是t=0时，故得到 (2）由()式，得到积分,得到由式(2）得到积分,得到两小球相遇时，相遇时间为,由(3
7、(4）两式,得到，故把上述成果代入（）或者（4),得到两小球相遇的地点代入()(），得到两小球相遇时的速度讨论:（1)当阻力很小时,即当时，运用展开式上述成果简化为这正是不考虑空气阻力时的成果。（2)当考虑如提设的空气阻力时,由上述成果可知，只在下述条件下或者两小球才有也许相遇。在非惯性系中求解球环系统的运动状况一轻绳的两端分别连接小球A和小环B,球与环的质量相等,小环B可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求:小球摆离铅垂线的最大角度时小环和小球的加速度。解：当小球摆动时,小环沿钢丝做加速运动。以小环B为参照系，则小球受重力和绳子拉力外,还受惯性力的作用，如图二
8、。其加速度沿圆弧的切线方向。在最大摆角为时的运动方程为小环在水平方向的运动方程为解方程，得到。小球A相对地的加速度,取如图二所示的坐标系，则有旋转液体的液面以等角速度旋转的液体,液面的形状如何求得？解答： 假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在液面会得到一正压力R,R可以同步提供向心力，和重力因此其中 、 都是常数,因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线绕 Y轴的旋转面。直接求sin()的导函数从几何上如何找到(x)的微分呢？解答：直接求 把变动,n从 变到 ,我们要理解 与之比,是一小段弦长,是斜线区域这个近似直角三角形的斜边,此与之比之比可以想成是 o
9、s四只苍蝇飞行问题有四只苍蝇A,C,分别位于平面上的1，1,，,-1,-1，1, 1,之后它们一起以每秒1单位的速度行动,行动的方式为:苍蝇始终向着B苍蝇接近， B苍蝇始终向着C苍蝇接近， C苍蝇始终向着D苍蝇接近， 苍蝇始终向着A苍蝇接近,试问:1四只苍蝇会在何处相遇?2它们多久会相遇?找出A苍蝇的行动轨迹,并大体画出。计算A苍蝇从开始到相遇的途径长。5苍蝇会有什么样的生理反映？解答:1、2：从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直,你可以想象苍蝇移动了瞬间之后,方向就立即修正参照图一、二、三，由于四只苍蝇是做等速运动，因此每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，行进
10、方向垂直加上等速于是当时间愈久的时候,苍蝇愈来愈接近,正方形愈来愈小,最后会内缩成一点，这一点会是原点,这就是她们相遇的地方。此外，接近B是垂直方向接近，因此从B苍蝇看来,A还是以1 单位 秒 的等速向B接近,本来、B的距离是2 单位，因此需要 秒的时间四只苍蝇会相遇，,的推论都同样,四只会一起相遇图一 图二图三3：我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式体现,而B的位置就是 要注意的是: 和 都是 的函数 而的速度是此向量要与 平行,于是如果，初始值 ,，。 ( ) 其轨迹如下图所示 事实上我们必须注意到，在 的情形下会有的推论，我们不妨用积分式算出 时刻走了多少路： 等式右边是速度乘上时间，在
11、的时候, 。因此其实苍蝇A的轨迹应为上述讨论要体现的是说,加上这一点是需要的,并且加上那一点后，轨迹还是持续的可以想一下如何定义在端点的持续性：由35：由3得知在 到 2的时候，,换言之,在之前已转了无限多圈,于是苍蝇会“头昏”。雪球融化假设雪球融化的速率与表面积成正比,若有一种半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的状况之下,在5分钟后融化为一种半径5公分的雪球,请问雪球完全融化需要多少时间?解答：假设此雪球在时间分钟时的半径为公分，由题意可知 , ，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率,雪球的体积为 ， 表面积为,因此有为一比例常数,由于体积随时间通过而减少,可
12、知为常数,由，可解出,由此可看出雪球的半径随时间通过等速率减少，雪球完全融化时，因此雪球在分钟后完全融化。雨中行车若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地,此时天正下着雨,假设所有雨滴皆以速度u 垂直落下,且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点,才干使落在挡风玻璃的雨水总量至少?解答:图一假设每立方公尺中有克的雨水,若车子以速度 v 迈进，以车子为原则坐标来看，则雨水以水平速度 v,垂直速度 u 朝车子而来,假设速度与水平夹角，则对单位面积的挡风玻璃来说，在到 间，落在其上的雨水正好是 时，单位面积上高为，倾斜角度的圆柱内的水如图二图二总共有克，因此单位时间内单位面积所
13、接受的雨水为 ,若甲到乙地距离 ,挡风玻璃总面积,则从甲以等速 开车到乙挡风玻璃所接受的雨水共有为一常数,与 无关。 若并非以等速行车，成果又会是如何呢？假设 v 为 t的函数，写成 ，单位时间内单位面积接受的雨水为,假设在 时间后从甲达到乙，则 。则从甲到乙所接受的总雨量为 仍然是一种常数,与 无关,也就是说不管怎么开,落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。工人拉船码头上，有一种圆筒状铁柱,从船上抛出一根绳子,一端固定在船尾,另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力0公斤,绳子与铁柱的磨擦系数是1/,请问船尾受力多大?解答：在绳子与铁柱有 的接触时，增长的拉力 会提供 接近 的正压力给铁柱,因此有 ,积分得 ，其中 就是1公斤，而 ,因此 。录音带如果你曾注意过收音机带动录音带的情形,相信你会发目前收听或者快转的时候，在左方的轮子会逆时针旋转,以带动磁带,而原本在右方的磁带地方就会被始终带动，最后会绕到左方的轮子上。目前我们考虑二个问题:两个轮子磁带半径的变化率之比为多少?如果我懂得录音带从一开始左方的轮子没有磁带，所有磁带都
