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1、挑选队员的策略模型摘要全国大学生建模竞赛已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规 模最大的数学建模竞赛，各大高校对这项比赛都很重视，那么如何挑选出优秀的 队员和如何将队员进行合理的组队就至关重要了。本文将提出的问题转化为数学 的模型以及合理的假设分析给出了妥帖的解决方案。1、对于问题一我们用多元统计分析中的层次分析法首先建立了模型 1.1，给各项n条件指标一个权重，来计算加权函数W = 一, L =tPW，再求每个队员i t aj i=i 八i的综合水平，用Excel整理数据，最后淘汰8、9两名队员。然后在模型1.1的基 础上建立了模型 1.2，从理论上按照层次分析法的步骤算出权重
2、，再按模型 1.1 的加权函数计算每个队员的综合水平，得出的结果也是淘汰8、 9两名队员，充 分的验证了模型的合理性。2、对于问题二我们用逐项选优法和均衡模型法，由于学校参赛的目的不同给出 两种模型。我们把这个问题转化成求竞赛水平函数 f(akj,l,m,Wi)= takj,l,mWi ，jijij=1模型2.1目的是使学校尽可能拿更高的奖项，用逐项求优法挑选竞赛水平高的队 伍，重复挑选选取最优。模型2.2目的是使学校尽可能多的获奖，也就是期望六 支队伍都获奖，用均衡模型法，先选出竞赛水平最高的一组保证能够获奖，将剩 下的队员均衡分配，从而竞赛水平都达到某一高度，这样六支队伍都能获奖。综 合这
3、两种模型我们在不同的情况下做了合理的分析，认为模型2.1优于模型2.2.3、对于问题三我们用求价值函数和仿真的方法，模型 3.1 是使每个教练挑选的 队员的价值函数g3( di3( o, p, q ) k，) = d-( o, p , q ) kWi达到最大,同时保证他们i=1之间相差不大，这样才能使教练相对满意。模型3.2是用仿真的方法，通过仿真 模拟出能够满足各个教练所需求的“最优”，又能使得他们所得队员差距更小， 以取得使教练都尽可能满意的结果。4、对于问题四我们有两种方案，由于参赛队员的增加必定有好的人员进入到选 拔的过程中，将对队员进行进一步的塞选。方案一是保留所有参赛队员，将他们
4、阶梯化，采取强队带弱队的方法。方案二是淘汰一部分人，我们按一定比例系数 k淘汰掉一部分人，按照第给出的加权函数按高到底淘汰，进行几轮淘汰后将留 下相对综合水平较高的队员。以上问题模型的解决都是用MATLAB进行编程实现，得到相对准确的结果。关键词：层次分析法 加权函数 价值函数 竞赛水平函数 逐项选优 均衡模型 仿真 MATLAB Excel一、问题重述为了准备全国数学建模竞赛，必须对报名队员进行严格的筛选，如何制定科 学合理的选拔组队策略是一个有待研究的课题。现有20 名队员，根据其能力选 拔 18 名参加竞赛。选拔队员主要考虑的条件依次为学习成绩，智力水平（ 反映思 维能力、分析问题、解决
5、问题的能力），动手能力（计算机的使用和其它方面的实 际操作能力），写作能力，协作能力（相互协作能力），其它特长（如身体素质等）。 每个队员的基本条件如下表（满分 10 分记）：队员学习成绩智力水平动手能力写作能力协作能力其它特长18.69.08.28.09.5628.28.88.16.59.2238.08.68.58.59.6848.68.98.39.69.7858.88.48.57.79.2969.29.28.27.99.0679.29.69.07.29.2987.08.09.86.29.7697.78.28.46.59.35108.38.18.66.99.44119.08.28.07.89
6、.55129.69.28.19.99.76139.59.68.38.19.37148.68.38.28.19.05159.18.78.88.49.45169.38.48.68.89.56178.48.09.49.29.17188.78.39.29.19.28197.88.19.67.69.69209.08.89.57.99.06现在要解决的问题是：（1）在 20 名队员中选择 18 名优秀队员，参加建模竞赛。（2）给出由 18 名队员组成 6 个队的组队方案使各队整体竞赛水平最高，并 给出每队的竞赛水平。（3）在实际分队过程中教练们采取 NBA 的选秀模式，将由教练选取自己的队员，每个教练按事
7、先抽取的次序依次挑选自己的队员，共选 6 轮，每个教练 都想让自己的队员更强一些，搭配更合理些，试给出该情况下的仿真，并计算最 优的平均竞赛水平。已知六位主教练的挑选次序为：（横向从左到右为一轮）A B C D E F; F E D C B A;B D F A C E。（4）试讨论报名人数更多一些的时候，比较适宜采用的选拔策略二、模型的假设1、假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据，不存在错误数据。2、假设每个队员在参赛以前接受相同的培训，相同的外部环境，在参赛过 程中不考虑随机因素。3、假设题中的 6 个条件指标的影响程度是逐渐降低的。4、假设各个队在参赛中之间相互独立，不互相影响。5、假
8、设每个队员都能正常发挥如表中的水平，且组队后队伍的竞赛能力是 各队员各项条件指标的最大值三、符号说明符号意义i各个条件指标的权重Wi各个条件指标所占的权重系数Pij各个条件指标数Lj队员的综合水平数ak、a/、 amiii随机取三个人k、l、m的第i项条件指标数a k ,l ,m jk、l、m三个人第i项条件指标取大的新条件指 标数f (ak,l,m , W ) ji竞赛水平函数b i、b 2、b 3iokipkiqkk教练第1、2、3轮挑选的队员o,p,q的第i项条 件指标数C 2i (o, p) kk教练第2轮挑选的队员p与第1轮挑选的队员 o的第i项条件指标数相比中的最大值d 3i (o
9、, p ,q) kk教练第3轮挑选的队员q与第1,2轮挑选的队 员o, p的第i项条件指标数相比中的最大值g 】、g 2、g3kkkk教练第1,2,3轮挑选队员的价值函数四、问题分析4.1 问题一的分析为了选拔参加全国数学建模竞赛的队员，我们要制定一个合理可行的模型来 对参赛学生进行塞选，模型建立的合理性是至关重要的。对于问题一挑选队员， 属于多目标决策问题，要考虑到每个队员的综合实力，队员的各个水平的能力都 是影响因素，就要选择综合实力排在前面的学生参赛。题中所给的队员的六个基 本指标，每个指标对其综合水平的影响程度是不同的，我们有两种思路求解这个 问题，都是采用的层次分析法，但是一种是从理
10、论出发来计算权重再进行加权， 另一种是人为地给条件指标一组权重。思路I：假设题中的6个条件指标的影响程度是逐渐降低的，因此我们建立 加权函数来给每个条件指标一个权，这样各个条件指标因其重要程度不同影响程 度所占比例就有所变化。根据实际经验，我们认为其他特长对建模的影响不大， 所以所占的权重就应该更小一些，六个权重依次是 7、6、5、4、3、1，再求其 对应的权重系数。我们的目标函数综合水平就是条件指标数与其权重系数的乘积 的总和。思路II：是运用最基本的层次分析方法，先建立层次结构模型，然后构造对 比较矩阵，最后计算层次单排序的权向量和一致性检验。利用 MATLAB 结合 Excel求出每个队
11、员的综合水平排名，选取排名前十八的队员作为参赛队员即可。4.2 问题二的分析在对队员进行初步淘汰后，留下的18名队员要组成6个队，我们有两种思 路来将这 18 名队员进行组队。思路一；目的是为了获得大奖，去冲击国家一二三等奖，使各队整体竞赛水 平最高，即使每个队员都发挥其特长且能够与同等水平的队员组队，这就是我们 想要的理想的组队方式。我们这个思想来源于电脑性能瓶颈，是电脑配置中最低 的系数点来取决电脑的性能，但是我们采用的是瓶颈的逆思想，建模参赛队的每 个队员的最高条件指标水平决定了这个参赛队的综合水平，所以我们就要选每个 条件指标的最高值的队员组成一个队，那么这个队竞赛水平就是最高的，再重
12、复 选出剩下队员中竞赛水平最高的队伍，竞赛水平即为我们的目标函数。用 MATLAB 编程对队员的各项指标进行塞选，用逐项选优的方法选出最优的组合 方式进行组队，同时给出每对的竞赛水平。思路二：目的是为了拿到更多的奖，也就是想要六支队伍都获奖，国家奖或 省奖，那么我们就要选出一支最强的队伍去冲击国奖，剩下的队伍实力保持均衡， 但都要达到能拿奖的竞赛水平，这样看来六支队伍就都可以获奖，我们可以建立 一个均衡模型。对目标函数竞赛水平加以约束条件，用MATLAB编程对队员的 各项指标进行塞选，得到最均衡的组队方式，同时给出竞赛水平。4.3 问题三的分析现在我们要解决在实际问题中的情况，教练采取 NBA
13、 选秀的模式，依次挑选 自己的队员，当然每个教练都想让自己的队员更强一些，所以我们要尽可能使每 个教练都达到相对满意。教练挑选队员的次序已知， 分三轮，那么他挑选队员 就受到了限制，先挑选的教练的选择就会多一些，每个教练挑选的队员其他教练 就不能再选。我们仍然有两种思路来解决这一问题。想法一：我们的思想是把这个问题转化为求一个价值函数的问题，使每个教 练挑选的队员的价值函数达到最大，同时保证他们之间相差不大，这样才能使教 练相对满意。第一轮选队员时，要使价值函数最大，也就是选最好的队员，换句 话说也就是按竞赛水平高低来选队员，那么自然第一轮排序在前的教练就可以选 到竞赛水平高的队员。第二轮挑选
14、时，教练挑选队员的标准就有所不同，他要选 能和第一轮所选的队员互补的队员，即选某些项条件指标数要比第一轮所选队员 大的队员，从而使价值函数达到最大。第三轮挑选和第二轮相似，重复第二轮过 程，最后每位教练选出他们自己满意的队员。我们运用MATLAB编程实现以上 过程，最后求出每个教练挑选的队员。想法二：因为教练选队员难免存在个人因素，这是我们无法避免的。对于每 一个教练而言，每一轮都想在选出队员之后使其带领的队伍达到最优的竞技能力 状态，但是按这种思想，就不能使得每一个教练都拿到“最优”的队。因此，我 们仿真的目标是既能满足各个教练所需求的“最优”，又能使得他们所得队员差 距更小，以取得使教练都
15、尽可能满意的结果。运用MATLAB编程实现仿真过程， 最后给出合理排序求出每个教练挑选的队员。4.4 问题四的分析随着报名人数的增加就会有好的人员进入到选拔的过程中，那么选取的方式 就有所不同。我们有两种方案，将对队员进行进一步的塞选。方案一是保留所有 参赛队员，将他们阶梯化，采取强队带弱队的方法。方案二是淘汰一部分人，我 们按一定比例系数 k 淘汰掉一部分人，按照第给出的加权函数按高到底淘汰，进 行几轮淘汰后将留下相对综合水平较高的队员。五、模型的建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解5.1.1 模型 1.1通过上述分析的基础上，假设各个条件指标的权重依次是7、6、5、4、3、1 我们建立以下模型来求各个指标所占的
