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1、第六章 预应力效应分析预应力效应主要指结构在预应力荷载作用下的变形和内力。一般教科书中，预应力效应的计算采用等 效荷载法，即把预应力钢索和混凝土视为相互独立的脱离体，把预应力对混凝土的作用以等效荷载的形式 代替。把等效荷载输入到程序中就可以得到预应力效应。但实际上，扣除预应力损失后，预应力钢索沿程 的应力值是不相等的，因此所谓的等效荷载也是近似的。因此须在程序中添加预应力效应分析功能，实现 预应力效应的自动分析。本章阐述的预应力效应计算的基本思路是：首先将难以用函数式表达的空间预应力索曲线转化为若干 连续的空间折线段，这样可方便求得预应力索与结构某截面的交点，进而将扣除预应力损失后的有效预应
2、力等效为单元若干等分点上的集中荷载。为此须解决以下问题：空间预应力索线形的描述方法及转化为空 间折线的方法、预应力损失的计算、预应力索张拉伸长量的计算、预应力等效荷载的计算、预应力索与混 凝土组合截面的形成以及截面内力分配等。本章将对这些问题分别加以阐述。6.1 空间预应力索分析具有平弯和竖弯特性的空间预应力索的线形是难以用函数式表达的，所以无法直接计算预应力损失和 等效荷载，在数值计算中可以考虑用若干连续的空间折线段代替实际光滑平顺的空间曲线。当折线的分段 数足够多时，由线形偏差引起的误差是工程容许的。6.1.1预应力索线形描述桥梁中的预应力索可能是平面曲线或空间曲线。描述平面曲线时一般采用
3、导线法，可根据导线点的坐 标及曲线半径等信息确定曲线的线形。但在描述空间曲线时，复杂程度大大增加，而且由于缺乏成熟的空 间曲线插值算法，所以一般采用近似处理方法，主要有以下几种：（1）将空间曲线投影到相互垂直的两个平面内（其中一个可能为结构纵轴线展开面）得到两条平面 曲线，分别描述两条投影曲线的形状。在每个平面内分别用插值函数计算预应力钢束上点的坐标，进而合 成空间点的坐标。计算得到足够多空间点的坐标后，空间曲线就可以转化为容易处理的空间折线。这种方 法比较符合工程习惯，并且计算方便，因此得到广泛应用。（2）将空间曲线投影到结构的纵轴线展开面内，用平面投影曲线代替实际的空间曲线。这种方法忽 略
4、了预应力钢索相对于纵轴线的平弯，计算比较简单，但对于平弯较大的索误差也较大。（3）模仿用导线法描述平面曲线的方法，用空间导线点坐标、导线点处的平弯和竖弯半径等信息直 接描述空间曲线。这种方法从概念上来说是最精确的，但在计算导线点坐标及程序内部处理同时具有平弯 和竖弯的曲线段时有较大的困难。本章以第一种方法为例阐述程序中与预应力钢索有关的计算，其他方法的计算过程与此类同。程序中 的一些约定及输入的数据包括：（1）结构坐标系约定：x轴为桥梁的纵轴线（对曲线桥指主桥端点的连线），y轴为竖直轴，z轴由 右手法则确定。坐标系原点位于桥梁左端点；（2）根据工程习惯，将结构沿桥梁纵轴线展开成平面xoy （对
5、于直桥就是平面xoy ），并将预应力钢 索投影到此平面内，投影曲线一般由直线段和圆弧段组成，也就是预应力钢索的竖弯曲线。在坐标系xoy 内采用导线法描述竖弯曲线，沿曲线依次输入导线点的信息，包括导线点的坐标和导线点处的弯曲半径。 圆弧段开口向坐标轴正向时弯曲半径为正值，否则为负值；对竖弯曲线的两个端点和中间折点，令其弯曲 半径为 0；（3）将预应力钢索投影到平面xoz内，投影曲线一般也由直线段和圆弧段组成，是预应力钢索的平 弯曲线。在坐标系xoz内采用导线法描述平弯曲线的形状，沿曲线依次输入导线点的信息，包括导线点的坐标和导线点处的弯曲半径。圆弧段开口向坐标轴正向时弯曲半径为正值，否则为负值；
6、对平弯曲线的两 个端点和中间折点，令其弯曲半径为 0；(4) 输入曲线桥端点的水平距离L和平弯半径R , R = 0时为直线桥。6.1.2 预应力钢索几何参数计算(1) 竖弯曲线几何参数计算将预应力钢索投影到桥梁纵轴线剖面xoy内，如图6-1所示。已知各导线点的坐标和竖弯半径，可以得到：式中：L,i-i iL,i i+i卩，i-i i卩，i i+1aiLiriL , = i (x -xi-1 iiL ,= . G-x J2 + (yi i+1i+1i,P , = arctani-1 iP ， = arctani i +1J2 + (y - yJ2i-1ii-1i +1I、y yiik L ,，
7、丿( 、y yi+i-丿 Li+1 a = I卩,-P , I ii i +1i -1、iL = |rtg(x /2i ii导线点i -1和i的距离导线点i和i +1的距离导线点i -1和i的连线与x轴的夹角 导线点i和i +1的连线与x轴的夹角 导线点i处圆弧对应的圆心角 导线点i处的切线长度导线点i处的竖弯半径图 6-1 竖弯曲线的几何特性计算(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)(6-6)由此可以得到坐标系xoy内每个中间导线点对应圆弧段的两个定位点a、b的坐标: ii(6-7)(6-8)x =kx +(L , -L hlz ,aii i-1i-1 i i ii-1 iy =
8、Il y +(L , - L 丿 y.L ,aii i-1i-1 ii 1i-1 ix =lLx +(L , -L Jx IL ,bii i+1i i+1i i i i+1y =Il y +(L , - L 丿 yL,bii i+1i i+1i i i i+1经过这样计算以后，竖弯曲线的描述就由导线点描述方式转化为圆弧段端点等定位点的描述方式，并 且得到了每一分段对应的曲线长度和圆心角以及定位点处切点的坐标。2)平弯曲线几何参数计算平弯曲线几何参数的计算与竖弯曲线的计算方法相同，只须注意计算平弯曲线时的坐标系不是xoy，而是 xoz 就可以了。（3）坐标系xoy与坐标系xoy的坐标转换为得到预
9、应力索的空间实际线形，必须得到坐标系xoy与坐标系xoy的坐标转换关系。显然只需求坐 标x与x的转换关系就可以了。参见图6-2，将坐标x转换到x时，容易得到:进而可以得到：(L )a = arccos x 二-R cosCx + B)二2(Lx一一R cosarccos+ 212 R丿R与之相对应，(6-9)(6-10)(6-11)(6-12)4）投影曲线上插入中间点的方法为计算需要，须讨论在投影曲线上插入的中间点坐标及其他几何信息的计算方法。若插入点位于直线 段上，由两侧定位点的坐标内插即可得到插入点的坐标，这里不再给出计算式；下面以竖弯曲线为例重点 讨论在曲线段上插入点的方法。插入分两种：
10、一种是按曲线长度插入，另外一种是按水平坐标差插入。按曲线长度插入时，如图6-3所示，若点i-1与i之间是圆弧段，C为一个插入点，到点i -1的曲线距离为l。则点C的切线方位角为:点C的坐标为:P = P +1. r2 1x = x + r&n pci -12y = y + r cos pci11sin p )cos p )2(6-13)(6-14)图 6-3 圆弧段插入点几何特性计算按水平坐标插入时，即已知插入点的水平坐标x时，只须对式（6-13）、（6-14）做变换就可以了，直c接得到：二 arcsm(6-15)(6-16)(6-17)(x - x Q )i-i + sin pI r 1丿l
11、 = r(P - P)=y+ r(cos P - cos P )i -1125）空间曲线的合成平弯和竖弯曲线的定位点坐标中都有X坐标，可按上面第四小节的方法求出一条曲线上的定位点在另 一条曲线上的对应位置。将两个坐标组合，可得到实际的空间点坐标。再综合各曲线的弧长和方位角信息 就得到了实际的空间曲线。合成后的空间曲线的分段有四种类型 对应的平弯和竖弯曲线段都是直线 平弯曲线为直线，竖弯曲线是曲线; 平弯曲线为曲线，竖弯曲线是直线; 对应的平弯和竖弯曲线段都是曲线。6）空间曲线转化为空间折线为了计算预应力损失及预应力等效荷载的方便，可以用空间折线近似替代预应力钢索空间曲线。当折 线的数量不断增加
12、时，折线的形状也逼近空间曲线。为增加折线数量，首先将平弯和竖弯曲线的定位点加密。对分段类型，将该分段用等分点分成适当的长度（例如大致取整个结构中的最小单元长度），空间 等分点的坐标由直线内插得到；对分段类型和，可将圆弧段按曲线长度等分，等分后每一区段对应的圆心角W5。，并且不足三个 区段的分为三等份。由按曲线长度内插的公式（6-13）、（6-14）计算插入点的坐标，并求出等分点对应的 空间定位点的坐标；对分段类型，可将平弯或竖弯曲线按曲线长度等分，等分后每一区段对应的圆心角W5。，并且不足 三个区段的分为三等份。先按曲线长度内插的公式计算被平分的曲线上的插入点的坐标，再按水平坐标内 插的公式计
13、算对应的另一曲线上点的坐标，最后合成空间点的坐标。通过上述过程可将空间曲线转化为空间折线，折线上的定位点可依次编号为1,2,n。6.2 预应力损失的计算预应力混凝土构件中引起预应力损失的原因很多。按规范，应考虑由下列因素引起的预应力损失621预应力钢索与孔道壁之间的摩擦引起的预应力损失cs1（1）基本公式预应力钢索与管道壁之间的摩擦损失出现在后张法构件中。在张拉预应力钢索时，由于预留管道的位 置可能有偏差或管道壁不光滑，使预应力钢索与管道壁接触引起摩擦力，因此离开张拉端后预应力钢索的预拉应力逐渐减小。从张拉端至计算截面的摩擦损失值以c表示。摩擦损失由两部分组成：一是管道偏s1 差损失，主要取决
14、于预应力钢索的长度、接触材料之间的摩阻系数及管道施工质量；二是弯曲影响的摩擦 损失，主要是由于管道弯曲，预应力钢索对孔道内壁的径向正压力引起摩阻损失。预应力钢索与管道之间摩擦引起的应力损失计算公式为：c =c 1 - e-（吩 kx）（6-18）s1k式中： ck 张拉钢索时锚下的控制应力；卩 预应力钢索与管道壁的摩擦系数，按表6-1采用；0从张拉端至计算截面曲线管道部分切线的夹角之和，以弧度计；k 管道每米局部偏差对摩擦的影响系数，按表6-1 采用；x 从张拉端至计算截面的管道长度，以米计，也可近似取为该段管道在纵轴线上的投影 长度。系数k及卩值表表6-1管道成型方式k钢丝束、钢绞线、光面钢筋螺纹钢筋预埋铁皮管0.0030.350.40钢管抽芯成型00.550.60橡胶管抽芯成型0.00150.550.60预埋波纹管0.00150.150.25注：电热后张法不计摩擦引起的损失。式(6-18)也适用于空间预应力索，只是0 角的含义应该是曲线的空间包角。有关研究成果表明，这样 处理后与试验结果吻合得比较好。(2) 预应力损失的计算s1假定预应力钢索在左端张拉，将空间曲线用空间折线近似替代后，就可以计算出从预应力钢索左端点算起的预应力累计长度和累计空间包角，进而计算出预应力损失，步骤如下：s1 令左端点(1号点)处的预
